证明:如果a是实数域上的n阶对称矩阵,t是n阶正交矩阵,则t^-1at是对称矩阵

因为A'A的列向量可由A'的列向量线性表示而r(A'A)=r(A')所以A'A的列向量与A'的列向量组等价又因为A'B的列向量可由A'的列向量线性表示所以A'B的列向量可由A'A的列向量线性表示所以存

就是要证明|λE-AB|=|λE-BA|.考虑分块矩阵P=E0-AE与分块矩阵Q=λEBλAλE可算得PQ=λEB0λE-AB有λ^n·|λE-AB|=|λE|·|λE-AB|=|PQ|=|P|·|Q

设v是n阶矩阵A的特征值由题意矩阵特征值对应的线性无关特征向量的个数和是n说明：1)矩阵可对角化2)A满秩由于特征向量空间的维数和是n那么其中一最大线性无关组是e1..en；e1..en是单位矩阵的列

对A做行分块,设A=(a1,a2,……,an)^T则A^TA=a1^2+a2^2+……+an^2=0从而a1=a2=……=an=0进而A=0.或者这样看A'A为一半正定矩阵,若其等于0,必有A=0

设A=（aij）i,j=1,.,n.设列向量ei=(0,...,0,1,0,...,0)^T,其中1是第i个坐标,i=1,2,...,n.K^n中任意非零列向量都是A的特征向量===>Aei=tiei

经济数学团队为你解答.再问：证明A特征值全为零和证明下一步E+kA特征值为1有什么关系吗？再答：有关系。若a是A的特征值，则1+ka是E+kA的特征值。

结论应该改成2的2n-1次方整除A的行列式.证明很容易,首先对于元素全是2的矩阵结论成立,然后将矩阵中(i,j)元素从2改成-2的时候行列式的改变量是|4*Aij|,其中Aij是代数余子式,利用归纳假

因为A+A^T是对称矩阵且X^T(A+A^T)X=X^TAX+X^TA^TX=X^TAX+(X^TAX)^T=0所以A+A^T=0所以A^T=-A故A是反对称矩阵.

（该结论仅限于实数范围,复数的需要把转置改成共轭转置）由于AtA是对称矩阵（（AtA）t=AtA））,而对称阵是半正定的当且仅当它的特征值均为非负实数,从而只需证明这个矩阵是半正定的,那么任取n维向量

错,n阶矩阵A的特征多项式在实数域上不一定有n个根.

证法一由于有关系式（A的秩）＋（Ax＝0的解空间维数）＝n现在依照题意,Ax＝0的解空间是整个空间,即（Ax＝0的解空间维数）＝n所以A的秩是零,因此A＝0证法二（反证）设A≠0,则A的某个元素a（i

证明:反证法.假设绝对值最大的不在主对角线上,而是在第i行,第j列,不妨设i

反证法,如果A可对角化,那么对角化A=PDP^{-1}之后A^3=PD^3P^{-1}=0=>D^3=0=>D=A=0,矛盾

因为A^m=O,即A为幂零矩阵,所以A的特征值只有0,从而对任意实数k,E+kA的特征值只能是1,|E+kA|等于其所有特征值的乘积,故不为0,所以E+kA为可逆矩阵.

设A为n阶方阵,令A*A=B,由于对称阵,因此有对任意m属于[1,n]Bmm=Am1^2+Am2^2+...+Amn^2=0因此Am1=Am2=...Amn=0由m的任意性可以知道A的每个元素为0,即

证:由A正定,对任意非零n维列向量x,都有f(x)=x'Ax>0.特别取x=εi=(0,...,0,1,0,...,0)',--第i个分量为1其余为0则有f(εi)=εi'Aεi=aii>0.

对A做LU分解,用归纳法容易证明L和U具有同样的符号结构（这种矩阵叫M-矩阵）,即L和U的对角元为正数、非对角元为负数（非零的部分）、顺序主子式大于零.于是L^{-1}和U^{-1}都是非零元皆为正数

当且仅当是充分必要的意思,即两个结论可互推既在证明:A与B可交换时,AB是对称的又要证明:AB是对称时,A与B可交换

考虑到R^n的任何一组基可以标准正交化即可得到存在性(考虑两组基的过渡阵).唯一性是显然的,证明如下：设T_1B_1=T_2B_2,则{T_2}^{-1}T_1=B_2{B_1}^{-1}.注意到1.

设A是含n个元素的集合,A有多少个子集A的子集数与A中元素的选择有关.如:A={a,b,c},则A的子集为:Ф{a}{b}{c}{a,b}{a,c}{b,c}{a,b,c}元素的出现:00010001