作业帮设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 11:58:08
设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.
设 A=（aij）i,j = 1,.,n.
设 列向量 ei = (0,...,0,1,0,...,0)^T, 其中 1 是第i个坐标, i = 1,2,...,n.
K^n中任意非零列向量都是A的特征向量 ===>
Aei = tiei, ti 属于K 为对应于ei的特征根, i = 1,...,n.
即： （a1i,.., aii,...,ani）= (0,...,0, ti,0,...,0).
===> aij = 0 如果 i 不=j. aii = ti.
下面只需证明 所有的 ti, i =1,...,n 都相等.
因为 ei + ej 也是特征向量,于是：
A(ei + ej) = t(ei + ej), t属于K
即： ti ei + tj ej = t(ei + ej)
(ti - t)ei + (tj -t)ej = 0,
因为 ei, ej 线性无关, 所以 ti = tj = t
所以 A = t En, 其中 En 是 n*n 单位矩阵. 即 A是数量矩阵
设 列向量 ei = (0,...,0,1,0,...,0)^T, 其中 1 是第i个坐标, i = 1,2,...,n.
K^n中任意非零列向量都是A的特征向量 ===>
Aei = tiei, ti 属于K 为对应于ei的特征根, i = 1,...,n.
即： （a1i,.., aii,...,ani）= (0,...,0, ti,0,...,0).
===> aij = 0 如果 i 不=j. aii = ti.
下面只需证明 所有的 ti, i =1,...,n 都相等.
因为 ei + ej 也是特征向量,于是：
A(ei + ej) = t(ei + ej), t属于K
即： ti ei + tj ej = t(ei + ej)
(ti - t)ei + (tj -t)ej = 0,
因为 ei, ej 线性无关, 所以 ti = tj = t
所以 A = t En, 其中 En 是 n*n 单位矩阵. 即 A是数量矩阵
设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.
证明：如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是一个数量矩阵.
证明：若P^n中任意非零向量都是数域P上n级矩阵A的特征向量,则A必为数量矩阵
如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是一个数量矩阵
若p^n中任意一个非零向量都是数域p上n阶矩阵a的特征向量,则a必为数量矩阵.如何证明?
如果任一个n维非零向量都是n阶矩 阵A的特征向量,则A是一个数量 矩阵
任意非零n维向量都是n阶数量矩阵A的特征向量 为什么
设n阶矩阵A的任意一行的元素之和都是a 证明a是矩阵A的一个特征值 求a对应的特征向量
如果向量a既是矩阵M的特征向量,又是矩阵N的特征向量,试证明：a必是矩阵MN及NM的特征向量.
证明与任意n阶矩阵都可以交换的矩阵A只能是数量矩阵
rt.证明：如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换,则A一定是数量矩阵,即A＝aE
若λ为A的k重特征值如果A是n阶矩阵 k是A的m重特征值 则属于k的线性无关的特征向量的个数不超过m个.其中 k是A的m