设有实数域上n阶方阵A,A的顺序主子式全为正的,而且非对角元全为负的.证明：逆矩阵A^-1的每个元素全为正的.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 23:48:34

对A做LU分解,用归纳法容易证明L和U具有同样的符号结构（这种矩阵叫M-矩阵）,即L和U的对角元为正数、非对角元为负数（非零的部分）、顺序主子式大于零.
于是L^{-1}和U^{-1}都是非零元皆为正数的三角矩阵,A^{-1}=U^{-1}L^{-1}是正矩阵.
再问：谢谢嗯那可以不用归纳法直接进行证明么？
再答：一般来讲含有抽象的n的命题或多或少总要涉及归纳的，只不过有些场合归纳法被隐藏在某些引理的证明当中而已，所以我没有兴趣去寻找非归纳的证法
再问：嗯谢谢

设有实数域上n阶方阵A,A的顺序主子式全为正的,而且非对角元全为负的.证明：逆矩阵A^-1的每个元素全为正的. n阶矩阵A、B的元素都是非负实数.证明：如果AB中有一行的元素全为0,那么A或B中有一行元素全为0. 证明.若A是主对角元全为零的上三角矩阵,则A^2也是主对角元全为零的上三角矩阵证明：主对角元全为1的上三角矩阵的逆矩阵也是主对角元全为1的上三角矩阵试证明如果数域p上的n阶方阵A的元素全为2或-2,则2的2n-1次方整除A 设n阶矩阵A的元素全为1,则A的非零特征值为? 设四阶矩阵A 的元素全为1,则 A 的非零特征值为 n阶矩阵主对角线上全为1,其余全为a,矩阵的秩是n-1,请问a=? 设A是实数域上n级可逆矩阵,证明：A可唯一分解成A=TB.其中T是正交阵,B是主对角元都为正的上三角矩阵. 我想请教一下一个对称或者反对称矩阵A中,有一r阶主子式不为零,包含此主子式的r+1阶和 r+2阶主子式全为零设n阶方阵A的元素全为1,则A的n个特征值是? 一道关于矩阵的证明题设A为可逆矩阵,且A的元素全为整数,证明：A的逆矩阵中所有元素也全为整数的充要条件是|A|=+1或-