试证：如果A是正定矩阵,那么A的主子式全大于零,这题该怎么解?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 03:29:14

首先,由A是正定矩阵,则A与单位矩阵合同,故其行列式>0.
其次,设 f(x1,...,xn) = X'AX= 和号(i从1到n)和号(j从1到n) aijxixj.
构造二次型 f(x1,...,xk) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijxixj
则对任意不全为0的数 c1,...,ck
f(c1,...,ck) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijcicj = f(c1,...,ck,0,...,0) >0.
所以 f(x1,...,xk) 是正定的,其矩阵也是正定的,由前结论,其矩阵的行列式>0.
而 f(x1,...,xk) 的矩阵就是A的第k个顺序主子式.
故 A的顺序主子式全大于零.
最后,对A的任一主子式A1,可经过对换行与列,调到A的左上角,得矩阵B
B与A合同,故B也正定.A的主子式就是B的顺序主子式,故也大于0.
事实上,A是正定矩阵的充分必要条件是A的主子式全大于零.
这是书上定理吧,北大高代里就有,

试证：如果A是正定矩阵,那么A的主子式全大于零,这题该怎么解? (试证:如果A是正定矩阵,那么A的主子式全大于零)怎么解答怎样证明正定矩阵的顺序主子式全大于零? A的所有奇数阶顺序主子式大于零,所有偶数阶顺序主子式小于零是什么矩阵? 设A是n阶正定矩阵,AB是n阶实对称矩阵,证明AB正定的充要条件是B的特征值全大于零我想请教一下一个对称或者反对称矩阵A中,有一r阶主子式不为零,包含此主子式的r+1阶和 r+2阶主子式全为零证明如果一个实对称矩阵A的特征值皆大于0,那么它是正定的证明如果A,B是正定矩阵,那么A+B也是正定矩阵. 假定n阶实对称矩阵A是严格对角占优的且所有对角元素大于零试证A一定是对称正定矩阵如果A是正定矩阵,证明A的逆矩阵也是正定阵设A为正定矩阵,证明A的对角线上的元素都大于零设矩阵A正定,证明A的主对角线上的元素都大于零.