作业帮27题关于相似
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 19:57:32
在平面直角坐标系中，已知A（8，0）C（0，6）OA平行于CB，点B在第一象限，且tan角BAC=0.5,点P从点O出发沿OA边以2个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿射线AB以根号5个单位/秒的速度向点B匀速运动，当点P到达点A时，Q点随之停止运动。 （1）求直线AB的解析式 （2）设点P运动的时间为m秒，三角形PCQ的面积为S，求S与m的函数关系式 （3）在P、Q两点运动时，若三角形PCQ为直角三角形，求点P的坐标
解题思路： 突破点就在于，巧妙地利用tan∠BAC=1/2这个条件。 一般的，“见了三角想直角”就是，给了三角函数值的条件，就要构造直角三角形。 另外，数形结合这个思想方法在解题时，是必须应用的。
解题过程：
解：
【【1】】
由两点间距离公式及题设条件，可得：AC=10
作CH⊥AC,交AB的延长线于点H, 再作HK⊥BC,K为垂足。
在直角三角形ACH中，由tan∠BAC=1/2及AC=10,结合锐角三角函数定义，
可知：tan∠BAC=HC∶AC=1/2
∴CH=5,
又显然有：∠HCB+∠BCA=∠OCA+∠BCA
∴∠HCB=∠OCA
∴RtΔOAC∽RtΔKCH
结合三角形OAC的三边比为3∶4∶5及CH=5,
可知：HK=4， CK=3
∴数形结合可知：H(3, 10)
∴直线AB的解析式为：y=-2x+16
【【2】】
显然，可设点P的坐标P(2m, 0), (0≤m≤4)
因点Q在直线AB上面，可设其坐标Q(t, 16-2t), (t＞0)
又AQ=(√5)m.
故由两点间距离公式可得：t=8-m,
∴Q(8-m, 2m)
由“割补法”可得关系式：
S=2m²-9m+24
【【3】】
数形结合可知，若三角形PCQ为直角三角形时，必有∠CPQ=90º
∴由勾股定理可得：m=3/4
∴P(2m, 0)=(3/2, 0)
另外，当P点运动到点A时，该三角形也是直角三角形。
∴还有P(8,0)
最终答案：略
解题过程：
解：
【【1】】
由两点间距离公式及题设条件，可得：AC=10
作CH⊥AC,交AB的延长线于点H, 再作HK⊥BC,K为垂足。
在直角三角形ACH中，由tan∠BAC=1/2及AC=10,结合锐角三角函数定义，
可知：tan∠BAC=HC∶AC=1/2
∴CH=5,
又显然有：∠HCB+∠BCA=∠OCA+∠BCA
∴∠HCB=∠OCA
∴RtΔOAC∽RtΔKCH
结合三角形OAC的三边比为3∶4∶5及CH=5,
可知：HK=4， CK=3
∴数形结合可知：H(3, 10)
∴直线AB的解析式为：y=-2x+16
【【2】】
显然，可设点P的坐标P(2m, 0), (0≤m≤4)
因点Q在直线AB上面，可设其坐标Q(t, 16-2t), (t＞0)
又AQ=(√5)m.
故由两点间距离公式可得：t=8-m,
∴Q(8-m, 2m)
由“割补法”可得关系式：
S=2m²-9m+24
【【3】】
数形结合可知，若三角形PCQ为直角三角形时，必有∠CPQ=90º
∴由勾股定理可得：m=3/4
∴P(2m, 0)=(3/2, 0)
另外，当P点运动到点A时，该三角形也是直角三角形。
∴还有P(8,0)
最终答案：略