如图,二次函数y=ax²+2ax+4的图像与X轴交于A、B,与Y轴交C,∠CBO的正切值是2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 12:11:24

如图,二次函数y=ax²+2ax+4的图像与X轴交于A、B,与Y轴交C,∠CBO的正切值是2
[1]求此二次函数的解析式
[2]动直线l从直线AC重合的位置出发,绕点A顺时针旋转,与直线AB重合时中止运动,直线l与BC交于点D,P是线段AD的中点.
①直接写出点P所经过的路线长
②点D与B、C不重合时,过点D作DE⊥AC于E,作DF⊥AB于点F,连接PE、PF,在旋转过程中,∠EPF的大小是否发生变化?若不变,求∠EPF的度数；若变化,请说明理由.
③在②的条件下,连接EF,求EF最小值.

看在我打字这么辛苦的份上大神帮下忙详细点思路可以吗!

二次函数y=ax²+2ax+4的图像与X轴交于A、B,与Y轴交C,∠CBO的正切值是2；
[1]求此二次函数的解析式
tan∠CBO=∣OC∣/∣OB∣=4/∣OB∣=2,故OB=4/2=2；即B(2,0)；
将B点的坐标代入抛物线方程得4a+4a+4=8a+4=0,故a=-1/2；于是得二此函数的解析式为：
y=-(1/2)x²-x+4；
[2]动直线l从直线AC重合的位置出发,绕点A顺时针旋转,与直线AB重合时中止运动,直线l与BC交于点D,P是线段AD的中点.
①直接写出点P所经过的路线长
②点D与B、C不重合时,过点D作DE⊥AC于E,作DF⊥AB于点F,连接PE、PF,在旋转过程中,∠EPF的大小是否发生变化?若不变,求∠EPF的度数；若变化,请说明理由.
③在②的条件下,连接EF,求EF最小值.
y=-(1/2)x²-x+4=-(1/2)(x+1)²+9/2；又y=-(1/2)x²-x+4=-(1/2)(x²+2x-8)=-1/2)(x+4)(x-2)；
故A(-4,0)；B(2,0)；对称轴x=-1；顶点D(-1,9/2)；C(0,4)；
①点P所经过的路线长=(1/2)∣BC∣=(1/2)√(4+16)=(1/2)√20=√5；
②∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴A,F,D,E四点共圆,且P为该圆的圆心；因此圆心角∠EPF=2∠EAC
=2×45º=90º=定值.
③在RT△EPF中,EF²=PE²+PF²；
PE=PF=AP=(1/2)AD；当AD⊥BC时AD最小；
BC所在直线的斜率k=2,故BC所在直线的方程为y=2x+4,即2x-y+5=0,设点A到BC的距离为d,
则∣AD∣min=d=∣-8+5∣/√5=(3/5)√5；故当∣PE∣=∣PF∣=∣AP∣=d/2=(3/10)√5时∣EF∣最小.即∣EF∣min=√(PE²+PF²)=√[2(d²/4)]=(1/√2)d=(√2/2)d=(√2/2)[(3/5)√5]=(3/10)√10