如图,在平面直角坐标系中矩形OABC的两边OA、OC分别在X轴Y轴的正半轴上,OA=4,OC=2.点P从点O出发,沿X轴

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 16:06:54

如图,在平面直角坐标系中矩形OABC的两边OA、OC分别在X轴Y轴的正半轴上,OA=4,OC=2.点P从点O出发,沿X轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A是停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90度得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA.
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标.
（2）求t为何值时,三角形DPA的面积最大,最大为多少?
（3）在点P从O向A运动的过程中,三角形DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值.若不能,请说明理由.
（4）请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长.

（1）∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,
∴OP=t,OC=2,
∴P（t,0）,
设CP的中点为F,
F（ t/2,1）,
∴Dt+1,t/2）；
（2）∵D点坐标为（t+1,t/2）,OA=4,
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2（4-t）× t2= 1/4（4t-t2）,
∴当t=2时,S最大=1；
（3）能够成直角三角形．
①当∠PDA=90°时,PC∥AD,
PD2+AD2=AP2,
（ t/2）2+1+（4-t-1）2+（ t/2）2=（4-t）2,
t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时,此时点D在AB上,t+1=4,t=3秒．
综上所述,可知当t为2秒或3秒时,△DPA能成为直角三角形．
4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=2 √5,
∴点D运动路线的长为2√ 5．