如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OC=2．动点D在线段BC上移动

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 11:59:10

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，O

A=3，OC=2．动点D在线段BC上移动（不与B、C重合），连接OD，作DE⊥OD交边AB于点E，连接OE．设CD的长为t．
（1）当t=1时，求直线DE的解析式．
（2）设梯形COEB的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）是否存在t的值，使得OE的长取得最小值？若存在，求出此时t的值并求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）如图，∵四边形OABC是矩形，且DE⊥OD，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠OCD=∠B=90°，
∴△OCD∽△DBE．
∴
CD
BE＝
CO
BD．
∴当t=1时，
1
BE＝
2
2，
∴BE=1．
∴点E的坐标为（3，1）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
又∵点D的坐标为（1，2），
∴直线DE的解析式为y＝−
1
2x+
5
2．
（2）由（1）得
CD
BE＝
CO
BD，即
t
BE＝
2
3−t．
∴BE=
−t2+3t
2．
∴S=
1
2（BE+CO）•BC=-
3
4t²+
9
4t+3．自变量t的取值范围是：0＜t＜3．
（3）存在t的值，使得OE的长取得最小值．
因为Rt△OAE的直角边OA的长为定值，所以当Rt△OAE的面积最小时，AE的长最小，即OE的长最小．而当Rt△OAE的面积最小时，就是梯形COEB的面积最大时．
由（2）S=-
3
4t²+
9
4t+3=-
3
4（t-
3
2）²+
75
16可知，
当t＝
3
2时满足此要求．此时，AE=2-BE=
7
8．
∴点E的坐标为（3，
7
8）．