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如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,C∈α,点B∈β,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,AB,CD所在直线异面,且

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 17:08:37
如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,C∈α,点B∈β,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,AB,CD所在直线异面,且AE:EB=CF:FD

(Ⅰ)求证:EF∥β;    
(Ⅱ)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.
(Ⅰ)证明:连接AD,作EG∥BD交AD于点G,连接FG,
因为AE:EB=CF:FD
∴EG∥BD,FG∥AC,
则EG∥β,FG∥α,
∵α∥β
∴FG∥β;
又因为;EG∩FG=G.
∴平面EFG∥β
而EF⊂平面EFG;
∴EF∥β
(Ⅱ) ∵EG∥BD,FG∥AC且E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6;
∴EG=
1
2BD=3,FG=
1
2AC=2
∵AC,BD所成的角为60°,
∴∠EGF=120°或60°
∴EF=
EG 2+FG 2-2EG•FGcos∠EGF=
22+32-2×2×3cos∠120°=
19;
或EF=
22+32-2×2×3×cos∠60°=
7
即EF=
19或
7.