作业帮一道中等数学上的几何题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 14:33:52
一道中等数学上的几何题
已知两圆相切于T,一直线与圆O2相切于X,与圆O1交于点A,B,且点B在线段AX内部,直线XT与圆O1交于另一点S,C是不包含点A,B的弧TS上一点,过点C作圆O2的切线,切点为Y,且线段CY与线段ST不相交,直线SC与XY交于点I.证明：1.CTIY四点共圆 2.I是三角形ABC的角A内的旁切圆的圆心
已知两圆相切于T,一直线与圆O2相切于X,与圆O1交于点A,B,且点B在线段AX内部,直线XT与圆O1交于另一点S,C是不包含点A,B的弧TS上一点,过点C作圆O2的切线,切点为Y,且线段CY与线段ST不相交,直线SC与XY交于点I.证明：1.CTIY四点共圆 2.I是三角形ABC的角A内的旁切圆的圆心
1.
∠TO2X = ∠TO1S
∠TYI =1/2 ∠TO2X
∠TCI = 180 - ∠TCS = 180 -(180- 1/2 ∠TO1S)
= 1/2 ∠TO1S
∴ ∠TCI =∠TYI
CTIY四点共圆
2.
CTIY四点共圆
∠ TIS = ∠ TYC = ∠ SXI
△STI ∽ △SIX
SI^2 = ST ˙SX
∠ SBI = ∠ SXB = 1/2 ∠TO1S
△SBX∽ △STB
SB ^2 = ST˙SX
SB = SI
∠SBI = ∠ SIB
∠ IBX + ∠BXI + ∠BIX = 180
通过等量变换可以证明
∠ CBI + ∠BXI + ∠BIX = 180
∠ IBX = ∠IBC
BI平分 ∠SBX
类似可以证明 AI平分 ∠BAC （先证明S为弧ASB中点,AS=BS = IS)
I是三角形ABC的角A内的旁切圆的圆心
∠TO2X = ∠TO1S
∠TYI =1/2 ∠TO2X
∠TCI = 180 - ∠TCS = 180 -(180- 1/2 ∠TO1S)
= 1/2 ∠TO1S
∴ ∠TCI =∠TYI
CTIY四点共圆
2.
CTIY四点共圆
∠ TIS = ∠ TYC = ∠ SXI
△STI ∽ △SIX
SI^2 = ST ˙SX
∠ SBI = ∠ SXB = 1/2 ∠TO1S
△SBX∽ △STB
SB ^2 = ST˙SX
SB = SI
∠SBI = ∠ SIB
∠ IBX + ∠BXI + ∠BIX = 180
通过等量变换可以证明
∠ CBI + ∠BXI + ∠BIX = 180
∠ IBX = ∠IBC
BI平分 ∠SBX
类似可以证明 AI平分 ∠BAC （先证明S为弧ASB中点,AS=BS = IS)
I是三角形ABC的角A内的旁切圆的圆心