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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an=(根号下Sn+根号下Sn-1)/2

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/11 13:05:41
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an=(根号下Sn+根号下Sn-1)/2
(1)证明:数列{根号下Sn}是一个等差数列:(2)求{an}通项公式
(1)证明:数列{根号下Sn}是一个等差数列:(2)求{an}通项公式
证明:(1)当n=1时,S1=a1=1,√S1=1
当n≥2时,an=(√Sn+√Sn-1)/2=Sn-Sn-1
(√Sn+√Sn-1)/2=(√Sn-√Sn-1)(√Sn+√Sn-1)
∴√Sn-√Sn-1=1/2
∴数列{√Sn}是以首项1,公差1/2的一个等差数列
(2)由(1)得:√Sn=√S1+(n-1)d=1+(n-1)×1/2=(n+1)/2
Sn=【(n+1)/2】²=(n+1)²/4
Sn-1=(n-1+1)²/4=n²/4
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n+1)²/4-n²/4=(2n+1)/4
当n=1时,a1=(2×1+1)/4=3/4≠1
∴当n=1时,a1=1;当n≥2时,an=(2n+1)/4