如图,AD为三角形ABC的角平分线,AD的垂直平分线交BC的延长线于点E,交AB于点F.求证AB方比AC方=BE比CE

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 07:11:04

郭敦顒回答：
未见图,依题意自绘了.
AD是△ABC角的平分线,AD的垂直平分线交BC的延长线于E,交AB于F,
求证：AB²：AC²=BE：CE
AC与EF交于G,AF=AG=DF=DG,四边形AFDG为菱形,
DF∥AC,DG∥AB,
∴DG/BF=DE/BE   （1）
作CK⊥EF于K,则Rt⊿CKG∽Rt⊿AOG,
CG/AG=CK/AO,
∵Rt⊿ECK∽Rt⊿EDO,
∴CK/DO=CE/DE,∵AO=DO,
∴CG/AG=CE/DE      （2）
（1）•（2）得
（CG/AG）•（DG/BF）=（CE/DE）•（DE/BE）=CE/BE
（CG•DG ）/（AG•BF）=CE/BE,
（CG•AF ）/（AF•BF）=CE/BE,
∴CE/BE=CG/BF     （3）
∵△ABC∽△FBD∽△GDC,
∴BF/AB=DF/AC,
DG/AB=CG/AC,
∴BF• DG /AB²=DF•CG /AC²,
∴BF• AF /AB²=AF•CG /AC²,
∴AC²/AB²=（AF•CG ）/ （BF• AF）=CG/BF ,
∴AC²/AB²= CG/BF   （4）
由（3）,（4）得,
AC²/AB²= CE/BE
∴AB² ：AC²= BE：CE.

                           A

                   F
                         O       G
                                   K

        B             D        C                       E