（2011•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（-6，0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 11:58:23

（2011•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（-6，0），边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A-B-C-F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求直线EF的表达式及点G的坐标；
（2）点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式；
（3）在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形？若存在，请直

接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）∵C（8，8），DC∥x轴，点F的横坐标为3，
∴OD=CD=8．
∴点F的坐标为（3，8），
∵A（-6，0），
∴OA=6，
∴AD=10，
过点E作EH⊥x轴于点H，
则△AHE∽△AOD．
又∵E为AD的中点，
∴
AH
AO=
AE
AD=
EH
DO=
1
2．
∴AH=3，EH=4．
∴OH=3．

∴点E的坐标为（-3，4），
设过E、F的直线为y=kx+b，
∴

3k+b＝8
−3k+b＝4
∴

k＝
2
3
b＝6
∴直线EF为y=
2
3x+6，
令x=0，则y=6，即点G的坐标为（0，6）．

（2）延长HE交CD的延长线于点M，
则EM=EH=4．
∵DF=3，
∴S_△DEF=
1
2×3×4=6，
且S_{平行四边形ABCD}=CD•OD=8×8=64．
①当点P在AB上运动时，如图3，
S=S_{平行四边形ABCD}-S_△DEF-S_△APE-S_{四边形PBCF}．
∵AP=t，EH=4，
∴S_△APE=
1
2×4t=2t，
S_{四边形PBCF}=
1
2（5+8-t）×8=52-4t．
∴S=64-6-2t-（52-4t），

即：S=2t+6．
②当点P在BC边上运动时，
S=S_{平行四边形ABCD}-S_△DEF-S_△PCF-S_{四边形ABPE}．
过点P作PN⊥CD于点N．
∵∠C=∠A，sin∠A=
OD
AD=
4
5，
∴sin∠C=