（2010•浙江模拟）已知函数f（x）=-（2m+2）lnx+mx-m+2x（m≥-1）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 11:31:35

（2010•浙江模拟）已知函数f（x）=-（2m+2）lnx+mx-

m+2

（I）由题意函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)＝
−2m−2
x+m+
m+2
x2
=
(x−1)[mx−(m+2)]
x2，
（1）若m=0，则f′(x)＝
−2x+2
x2，
从而当x＜1时，f′（x）＞0；
当x＞1时，f′（x）＜0，
此时函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为[1，+∞），（2分）
（2）若m≠0，则f′(x)＝
m(x−1)[x−(1+
2
m)]
x2．
①当m＞0时，∵1+
2
m＞1，从而当x＜1或x＞1+
2
m时，f′（x）＞0，
当1＜x＜1+
2
m 时，f′（x）＜0，
此时函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（1+
2
m，+∞），
单调递减区间为[1，1+
2
m]；
②当-1≤m＜0时，1+
2
m≤0，
此时函数f（x）的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为[1，+∞），
综上所述，当-1≤m≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为[1，+∞）；
当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（1+
2
m，+∞），
单调递减区间为[1，1+
2
m]．（7分）
（II）由（I）可得当m=2时，
f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
所以在区间（0，2）上，f（x）_max=f（1）=-2，
由题意，对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[k，k+1]（k∈N），
使f（x₁）＜g（x₂），
从而存在x∈[k，k+1]（k∈N）使g（x）＞-2，
即只需函数g（x）在区间x∈[k，k+1]（k∈N）上的最大值大于-2，
又当k=0时，x∈[0，1]，-6≤g（x），不符，
所以在区间x∈[k，k+1]（k∈N^*）上g（x）_max=g（k+1）=k²-6＞-2．
解得k＞2，（k∈N），
所以实数k的最小值为3．（14分）

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