已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,B1C1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 13:54:17

已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,B1C1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成
的二面角的正弦值是
A.2/3 B三分之根号2 C三分之根号5 D三分之2倍根号2

一种方法以D为原点,DA、DC、DD1为x,y,z轴建系平面ABCD的n1显然为(0,0,1) E(1/2,1,0),于是向量AD1＝(-1,0,1),向量AE(-1/2,1,0)平面AEFD1n2为(1,1/2,1),D-AE-D1即<n1,n2> cos<n1,n2>=1/(3/2)=2/3于是为sqrt5/3另一种方法已知E,F,分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC,CC₁的中点,则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值等于（）连接AE,过D作DG⊥AE,G为垂足,连接GD₁,则θ=∠DGD₁就是截面AEFD₁与底面ABCD所成的二面角.设正方体的棱长为1,∠BAE=α,∠DAE=β；则AE=√(1+1/4)=√5/2,cosα=1/(√5/2)=(2√5)/5；BG=ADsinβ=sinβ=sin(90-α)=cosα=(2√5)/5；GD₁=√(DG²+D₁D²)=√(4/5+1)=√(9/5)=(3/5)√5∴sinθ=DD₁/GD₁=1/[(3/5)√5]=5/(3√5)=(√5)/3向左转|向右转