证明:两个σ-子空间的和仍是σ-子空间

第一步:任取α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3)∈U和任意的λ,μ∈R.第二步:证明λα+μβ∈U.就可以了.证明:任取α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3)∈U和任意的λ,

1两个有理数的和仍是有理数（√）2两个有理数的差仍是有理数（√）3两个有理数的积仍是有理数（√）4两个有理数的商仍是有理数（√）5任何有理数的乘方仍是有理数（√）

这个没什么特别的方法,很简单,只要设出两个上三角矩阵,根据运算,算出结果,判定仍是上三角矩阵即可.不难,自己动手写写吧

设ε1……εr和α1……αn-r分别是W1和W2的一组基,可知ε1……εr可扩充为V的一组基,设扩充后这组基变为ε1……εn,则对于V中的任意一个元素ζ=k1ε1+……+knεn,设变换σ把它变换为η

只用向量集合、向量空间的定义就可以解决了啊.我用普通语言直接表述吧,你用数学的形式再表达出来就行了：设某向量X是属于（U交W）的任意向量,注意,这个任意很重要.那么,X一定是属于U（或者W）的.又由于

要证加法封闭,根据定义,只需在集合内任取两个元素验证它们的和是否还在集合中.例如,你给的第二个集合,任取两个元素(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2),可知有x1^2-y1^2=0和x2^2-y2

正交变换满足σ^Tσ是恒等映射.因此对任意的两个非零向量a,b,有==,即正交变换保持内积不变,因此||a||^2==.长度不变.于是a与b的夹角cos(theta)=/【||a||*||b||】在正

设α,β∈W^⊥则任意γ∈W,(α,γ)=0=(β,γ)故(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)=0+0=0故α+β⊥γ=>α+β∈W^⊥且(kα,γ)=k(α,γ)=0故kα⊥γ=>kα∈W^⊥故W

零变化属于U所以U分非空任意σ1σ2属于U那么对于任意x属于V有σ1(x)=k1xσ2(x)=k2x所以(σ1+σ2)(x)=(k1+k2)x所以(σ1+σ2)属于U任意σ1属于Um属于F对于任意x属

"及"行那个等式两边乘(A-λiE)^ri由fi的定义得第一个等号由f是A的零化多项式得第二个等号再问：第二个等号我清楚，就是第一个等号没想出来。为什么由fi的定义得第一个等号？能说的更详细一些吗？(

先说一下：这里W1+W2指的是一个新的集合W,其元素是w1+w2其中w1属于W1,w2属于W2.以下是证明：（w1、w2是V的线性子空间）（V定义在属于F上）首先{0}属于W1、W2故{0}也属于W；

当W=V时是废话.当dim(W)=dim(V)时,取W中的一组基底B={v1,v2,...,vn}.显然B在V里面且B线性无关.若span(B)≠V,则V种存在不能写成vi的线性组合的v,则B∪{v}

我的作业

（1）没这么麻烦比如V1=L(a1,a2)V2=L(a3,a4)则L1+L2=(a1,a2,a3,a4)找极大线性无关组就行（2）a=k1a1+k2a2=m1a3+m2a4则k1a1+k2a2-m1a

因为σ(X+Y)=A(X+Y)B=AXB+AYB=σ(X)+σ(Y)σ(kX)=A(kX)B=kAXB=kσ(X)所以σ是线性变换.

设V1包含于V2V1∪V2=V2,当然是子空间.另一方面：若V1∪V2是子空间但无包含关系.则有a∈V1但a不属于V2b∈V2但b不属于V1则有a+b∈V1∪V2情况1：若a+b∈V1,则b=-a+(

m*n个元素中只有一个,明显是1,其余的是0,这样的矩阵有m*n个1,这m*n个矩阵构成一组基2,任意m*n阶矩阵可由这m*n个矩阵线性表示（普通意义上的矩阵加法和数乘）所以求证所有m×n阶矩阵的集合

证明子集是子空间,只需验证对加法和数乘封闭

很显然,若V1包含于V2,则两者之并就是V2,是V的子空间.反之,用反证法证明.若两个子空间V1并V2＝W是V的子空间,但V1不是V2的子集,V2也不是V1的子集,因此存在a位于V1但不位于V2,b位

只需证V1∩V2对运算封闭.任给a,b∈V1∩V2则a,b∈V1,a,b∈V2因为v1,v2是V的子空间所以a+b,ka∈V1,a+b,ka∈V2,所以a+b,ka∈V1∩V2所以V1∩V2也是V的子