七、设W1和W2是n维向量空间V的两个子空间,且维数之和为n,证明：存在V上的线性变换σ,使ker(σ)=W1,Im(σ

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 07:56:16

七、设W1和W2是n维向量空间V的两个子空间,且维数之和为n,证明：存在V上的线性变换σ,使ker(σ)=W1,Im(σ)=W2

设ε1……εr和α1……αn-r分别是W1和W2的一组基,可知ε1……εr可扩充为V的一组基,设扩充后这组基变为ε1……εn,则对于V中的任意一个元素ζ=k1ε1+……+knεn,设变换σ把它变换为η=k(r+1)α1+……+knαn-r,可知这个变换的像空间是W2,并且由于σ(β+γ)=[k1(r+1)+k2(r+1)]α1+……+(k1n+k2n)αn-r=[k1(r+1)α1+……+k1nαn-r]+[k2(r+1)α1+……+k2nαn-r]=σβ+σγ,σtφ=tk3(r+1)α1+……+tk3nαn-r=t[k3(r+1)α1+……+k3nαn-r]=tσφ,所以σ是一个线性变换,它的核子空间为k(r+1)=……=kn=0的V中元素构成的集合,即它的核子空间为W1.

七、设W1和W2是n维向量空间V的两个子空间,且维数之和为n,证明：存在V上的线性变换σ,使ker(σ)=W1,Im(σ 设n是正整数,V是数域P上的一个n维线性空间,W1.W2都是V的子空间,而且它们的维数和为n,证明: 假设W1,W2是向量空间V的子空间,W1+W2={v|v=w1+w2},w1属于W1,w2属于W2,求证W1+W2是V的 w1和w2是维线性空间v的两个n-1维子空间,则w1和w2的并的最大维数是n-1,最小维数是n-2 设W1,W2是向量空间V的子空间.证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2,那么它一定包含W1+W2. W1和W2是V的子空间,证明1.(W1+W2)的正交补=W1正交补+W2正交补2.（W1∩W2）的正交补=W1正交补+W 设W1,W2是数域F上向量空间V的两个字空间,a,b是V的两个向量,其中a属于W2,但a不属于W1,又b不属于W2, w1,w2是V的非平凡子空间,则存在a属于V,是a不属于w1,w2同时成立设V是数域P上的n维线性空间,W是V的子空间,证明：W是某个线性变换的核. v是数域p上的n维线性空间,T是v的线性变换.证明,存在v的线性变换S,使得TST=T 37．设σ是F上n维线性空间V的一个线性变换.证明：1．在F[x]中存在次数≤n2的非零多项式f(x),使f(σ)=0 设б是实数域上F上n维向量空间V的一个线性变换,且V中存在向量ξ,满足：б的（n-1）次幂不等于0,