设A是n阶方阵,如果每个n维列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则r(A)

|mE-A|是(mE-A)写成行列式,行列式是个数

设k0α+k1Aα+…+k(n-1)A^(n-1)α=0同时左乘A^(n-1)由于A^nα=0所以A^(i)α=0(i>=n)于是得到k0A^(n-1)α=0又A^n-1α≠0则k0=0于是得到k1A

直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA＝（E-2aaT）（E-2aaT）＝E－2aaT-2aaT＋4aaTaaT=E这说明A是正交阵.

n阶矩阵乘积的秩有不等式r(AB)≥r(A)+r(B)-nAB=0,即有r(AB)=0,代入即得.还有一种想法,B的列向量都是线性方程组AX=0的解.于是AX=0解空间的维数n-r(A)应该≥B的列秩

对再答：行秩等于列秩等于矩阵的秩再答：行向量组的秩是它最大线性无关组中向量的个数

因为(Aα1,Aα2,...,Aαn)=A(α1,α2,...,αn)当A可逆时,r(Aα1,Aα2,...,Aαn)=r(α1,α2,...,αn)=n.所以Aα1,Aα2,...,Aαn线性无关.

因为A^2=A所以A(A-E)=0所以0=R(A(A-E))≥R(A)+R(A-E)-n故R(A)+R(A-E)≤n又R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R（A+E-A)=R(E)=n所以

只有极大无关组(含r个向量)才能表示其余的向量任意r个列向量可能线性相关

A的一个特征值是5A的特征值是|λE-A|=0的根,考虑方阵λE-A,他的各列元素之和是λ-5因为λE-A是把A取负再把每一列的某个元素加上一个λ.这样根据行列式的性质,通过变换：把第2至第n行各加到

1+xa≠0,可以知道aa'（a‘表示转置）也不会为0,而r(aa')<=r(a)<=1这说明aa‘的秩为1.这样aa'的特征值正好是n-1个0,有一个不

一个更正,问题中的“a=2/3”似乎有误,应为“a^Ta=2/3”首先可知A是一个对称阵,那么AA^T=E就等价于(E-3aa^T)(E-3aa^T)=E,展开就得E-6aa^T+9(a^Ta)(aa

这里,先给说一个结论,很好证的就是如果x是阵C的特征值,那么E+C的特征值为1+xa'b≠0,可以知道ab'也不会为0,而r(ab')

因为n维列向量组a1...an线性无关所以|a1,...,an|≠0同理|Aa1,...,Aan|=0而A(a1,...,an)=(Aa1,...,Aan)所以|A||a1,...,an|=|Aa1,

A经过若干次初等列变换变为矩阵B,即存在可逆矩阵Q使得AQ=B,此时,B一定可以经过其列的逆变换变为A,即存在可逆矩阵P使得BP=A,这里,P=Q^-1.故一定选“存在可逆矩阵P使BP=A”.

给你例子看看A=[1,0;0,0],B=[0,0;0,1]则因为r(A)=r(B)=1,所以A与B等价.但它们的行向量组,列向量组都不等价A的行向量组是(1,0),(0,0)B的行向量组是(0,0),

证法一由于有关系式（A的秩）＋（Ax＝0的解空间维数）＝n现在依照题意,Ax＝0的解空间是整个空间,即（Ax＝0的解空间维数）＝n所以A的秩是零,因此A＝0证法二（反证）设A≠0,则A的某个元素a（i

设k1a+k2,Aa+,.+km,A^(m-1)a＝0①①左乘A^﹙m-1﹚k1A^﹙m-1﹚a＝0A^﹙m-1﹚a≠0∴k1＝0①成为k2,Aa+,.+km,A^(m-1)a＝0②②左乘A^﹙m-2

因为A的n个特征值互异所以A可对角化,且A相似于对角矩阵diag(a1,...,an)又因为n阶方阵B与A有相同的特征值所以B也可对角化,且B相似于对角矩阵diag(a1,...,an)由相似的传递性

(A)