线性代数书上证明:A.B是n阶方阵,则 r(AB)≥r(A) r(B)-n.-搜答案-智慧作业帮

可以用矩阵运算如图凑出E-BA的逆矩阵.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.再问：有没有简便的方法啊？再答：如果要求出逆矩阵，只能这样做。若只是证可逆，还可用公式|E-BA|=|E-AB|，行列式非零，

转置得B^TA^T=0,即B^Tai=0,其中ai是A^T的第i列,因为B^T的秩是n,故B^Tx=0只有零解,因此ai=0,i=1,2,...,m.于是A=0

这个结论是不成立的.如：A=[10][00]B=[00][01]A+B=[10][01]|A|=|B|=0|A+B|=1

看图吧

证明（AB）是可逆矩阵?没弄错么这样就不是方阵了何来可逆.再问：我下面写了第二行是BA啊再答：AB列变换A-BB行变换A-BBBAB-AA0A+B所以其行列式为|A-B||A+B|A+B与A-B均为可

B的每个列向量都是齐次方程AX=0的解.当B为零矩阵时,AX=0只有零解,所以r(A)=n,B为零矩阵所以r(B)=0此时r(A)+r(B)=n当B为非零矩阵时,AX=0有非零解,所以r(A)

初等行变换相当于在矩阵的左边乘一系列初等矩阵初等矩阵的乘积是可逆矩阵P(A,B)=(E,X)PA=EPB=X得P=A^-1,X=A^-1B

A·B=E,且为n阶方阵说明AB可逆两边左乘B得BAB=BE=B然后两边右乘B^(-1)得BABB^(-1)=BB^(-1)BA=E得证满意请轻戳此处↓

只要证明（ATA-1AB）T(ATA-1AB)=单位阵就行用转置的性质(AB)T=BTAT和ATT=A的到（ATA-1AB）T=BTATA-1TA,用它乘上ATA-1AB用条件A,B都是n阶正交阵所以

1、为书写方便,以下记矩阵G＝(A/B),A上B下（1）方程组Gx＝0的解都是(CD+AB)x＝0的解,二r(CD+AB)＝n,所以(CD+AB)x＝0只有零解,所以Gx＝0只有零解,所以r(G)＝r

(A+B)^-1=（A+B）^T＝A^T+B^T=A^-1+B^-1你做的对,只是写得顺序不好,应该这样写道理就看的清楚了.

关键是有没知道A+B也是正交的,知道的话这题这么做似乎没什么问题,不就用了正交和转置最基本的性质啊

(AB)>=r(A)+r(B)-n是Sylvester不等式请参考图片证明也可以这样证明:因为AB=0所以B的列向量都是Ax=0的解.所以B的列向量组可由Ax=0的基础解系线性表示所以r(A)即r(A

证明：AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵|ABO||OEn|A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有|ABA||0En|右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有|0A||-BEn|所以,r(AB)+n=

A^2=A得到A(A-E)=0由r(A)+r(B)-n

我们发现这题的条件比较少,所以考虑用反证法假设E-BA不可逆,就是|E-BA|=0这样一来,（E-BA）x=0就有非零解.所以我们设α是一个非零解,然后把它（或者另外一个非零解）带入（E-AB）x=0

因为A可逆,所以A^(-1)ABA=BA所以AB与BA相似.

Bx=0的解一定是ABx=0的解Bx=0基有k-r(B)个ABx=0基也有k-r(B)个ABx=0的解一定是Bx=0的解ABx=0当且仅当Bx=0Ax=0只有零解r(A)=n再问：ABx=0的解一定是

很简单啊：1)b1...bn是A的特征值,满足如下方程(a11-x)(a22-x)*...*(ann-x)=0然后由韦达定理就得到了着两个结论

当且仅当是充分必要的意思,即两个结论可互推既在证明:A与B可交换时,AB是对称的又要证明:AB是对称时,A与B可交换