已知D,E,F分别是三角形的三边BC,CA,AB上的点,且满足

在一个三角形ABC中,有一个内三角形PDE.AB是底边,点P在AB边上,点D在AC边上,点E在BC边上.在某个特殊的位置上,三角形PDE有一个最小值周长.求：当三角形PDE的周长是最小值时,点P处于A

证明：连接MC,BN∵△ABM与△ACN是等边三角形∴AM=AB,AN=AC,∠MAB=∠NAC=60度∴∠MAC=∠BAN∴△MAC≌△BAN∴MC=BN在△BCN中BE=EC,CF=FN∴EF=1

因为四边形DECF为菱形所以DE=CE=CF=DF因为D,E,F为三角形各边中点所以DE,DF为三角形中位线所以DE=1/2AC,DF=1/2BC因为DE=DF所以AC=BC所以三角形ABC为等腰三角

连接AD∵D,E分别是中点∴S⊿ABD=½S⊿ABCS⊿BDE=½S⊿ABD∴S⊿BDF=¼S⊿ABC同理S⊿AEF=¼S⊿ABCS⊿CDE=¼S⊿A

三角形ABC是等腰三角形,角C=90°所以角A=角B=45°D是AB的中点所以AD=BDAE=CF所以三角形DAE≌三角形DBF所以DE=DF所以是三角形DEF是等腰三角形又因为角EDA加角CDE等于

先在直角坐标系中把D,E,F找出来,连接三个点构成一个三角形DEF,分别过D,E,F作三条边的平行线,交点为A,B,C.这样就找到了三角形ABC.设A的坐标为（X,Y）根据F,E是中点可以知道B为（-

利用等高,求各三角形面积∵D是BC的二等分点∴BD＝CD∴S△ABD＝1/2S△ABC∵E是AD的三等分点∴DE＝2/3AD∴S△BDE＝2/3S△ABD∵F是BE的四等分点∴EF＝3/4BE∴S△D

∵△ABC是等边三角形又∵DEF是三边的中点∴DE是三角形的中位线根据中位线定理知DE=1/2AC同理其他两条边也有同样的性质.所以DE=EF=DF

四边形PABC是空间四边形作AB、BC的重点M、N连接PM、PN（过D、E）易得DE平行且相等于2/3MNMN平行且相等于1/2AC所以DE平行且相等于1/3AC

DE=DF再问：过程？再答：∵DE∥AC,DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∵DE=DF∴平行四边形AEDF是菱形

BD、CE分别是三角形ABC的两条高,所以三角形ABD∽三角形AEC→AE/AD=AC/AB,AE/AC=AD/AB,又∠DAE=∠CAB→三角形ADE相似三角形ABC

方法一证明边相等（同意楼上）∵D是BC上的中点∴S△ABD=S△ACD∵S△ABD=DE*AB/2S△ACD=DF*AC/2∵DE=DF∴AB=AC∴△ABC为等腰三角形方法二证明角相等∵DE⊥ABD

三角形ABc的周长是三角形DEF的周长的2倍.

因为点F是BE的四等分点所以三角形DEF的面积是三角形BED面积的四分之三所以三角形BED面积=30/四分之三=40平方厘米同理三角形ABD面积=40/三分之二=60平方厘米三角形ABC面积=60/二

证明：∵AH⊥BC,E为AC中点∴EH=1/2AC∵D为BC中点.E为AB中点∴DF=1/2AC∴DF=EH同理HF=DE∵FE=FE∴△EFH≌△FED

为锐角三角形,△DEF的三个内角∠AFD=∠DEF,∠BDE=∠DFE,∠CEF=∠EDF.（这是一个性质下面附图）而∠AFD,∠BDE,∠CEF分别是等腰△ADF,等腰△BDE,等腰△CEF的底角,

由题可知三角形BFD三角形CED均为直角三角形因为D为BC中点所以BD=BC又因为DE=DF所以RT三角形BFD全等于RT三角形CED所以角B=角C所以是.

反证法不妨设∠A∠B∠C中∠A最大,则BC大于其它两边（大边对大角）,所以EC>BD和AF,所以∠CFE在对应的3个角中最大,所以∠C在对应的三个角中最小因为∠A在对应的三个角中最大,所以∠AFD在对

作辅助线AP,因为D,E,F,G分别是PB,PC,AC,AB上的中点在三角形PBC中,DE//BC,同理在三角形ABC中,FG//BC所以DE//FG;在三角形APC中,AP//EF;在三角形APB中

如果不差条件的话DEFG是平行四边形但不一定是矩形.①是平行四边形：由三角形中位线定义可知DE为△BPC中BC的中位线,FG为△ABC中BC的中位线,由三角形中位线性质有DE∥BC且长度为BC的一半,