..在直角三角形ABC中,D、E、F分别是三边上的任意点,已知直角三角形三边分别为3、4、5,请问三角形DEF周长的最小

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 11:42:33

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在直角三角形ABC中,D、E、F分别是三边上的任意点,已知直角三角形三边分别为3、4、5,请问三角形DEF周长的最小值是多少?（要具体过程.）

在一个三角形ABC中,有一个内三角形PDE.AB是底边,点P在AB边上,点D在AC边上,点E在BC边上.在某个特殊的位置上,三角形PDE有一个最小值周长.
求：当三角形PDE的周长是最小值时,点P处于AB边上一个特殊的位置.点P在哪里?点D和点E又在哪里?最小值周长是多少?
根据提示,连接CP、CR、CT,设PR交AC于H,PT交BC于H'
显然,D、E只有分别对应RT与AC、BC的交点,三角形DEP的周长才是最小的,也就是此时三角形DEF的周长就是RT的长度
因为RH＝PH,且角CH垂直于RP,所以三角形RCH与三角形PCH全等,
故有角RCH＝角PCH,CR＝CP
同理可证角TCH'=角PCH',CT＝CP
所以CR＝CP＝CT
所以角RCT＝2倍角ACB
由余弦定理RT^2=CR^2+CT^2-2*CR*CT*cos角RCT
又根据上面得出的结论,用CP分别替代CR、CT,用2倍角ACB替代角RCT
有RT^2=2*CP^2*(1-cos2倍角ACB)
因为角ACB为定值,显然,只有当CP最小时,RT才是最小的
所以P点为从C作垂线与AB的交点,D、E两点就是RT与AC、BC的交点(也可以证明这两点也是垂线的交点）
要求最小周长,得把CP用三角形的边和角表示出来,可有多种选择
我用CP＝AC*sin角CAB表示
则RT^2=2*(AC*sin角CAB)^2*(1-cos2倍角ACB)
开方后即得内接三角形周长的最小值
注：RT^2表示RT的平方的意思,其它的类推

..在直角三角形ABC中,D、E、F分别是三边上的任意点,已知直角三角形三边分别为3、4、5,请问三角形DEF周长的最小若三角形ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是三角形ABC三边的中点，则三角形DEF的周长为______cm．已知:如图△ABC中,D,E,F分别是三边种点,△DEF面积为4cm²,求△ABC的面积? 如图,在三角形abc中,d,e,f分别是三边中点,则四边形cdef的周长为在三角形ABC和三角形EDF中,D,E,F分别是三角形ABC的三边BC,CA,AB的中点,求三角形DEF相似三角形ABC 若△ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（　　）若三角形ABC的内切圆与三边的切点分别为D,E,F,则三角形DEF一定是锐角三角形如图在三角形abc是等腰直角三角形,角A=90度,D,E,F是三边的中点,试判断三角形DEF 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（　　）纯粹送分题已知直角三角形ABC,E为斜边AC的中点,D、F为AB、BC上的动点,求证三角形DEF的周长大于斜边AC 已知D.E.F分别是锐角三角形ABC的三边BC,CA,AB上的点, 如图,D为直角三角形ABC斜边AB上一点,以CD为直径的圆分别叫三角形ABC三边于E、F、G三点,连EF、FG