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在四面体PABC中,PA=PB=PC=3,AB=AC=BC=4,M是BC的中点

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 10:11:05
在四面体PABC中,PA=PB=PC=3,AB=AC=BC=4,M是BC的中点
求异面直线PM与AC所成的角 求二面角P-BC-A的大小
第一个问题:
过M作MN∥CA交AB于N.
∵BM=CM,MN∥CA,∴BN=AN.又AB=BC=AC=4,
∴BN=BM=2,且由三角形中位线定理,得:MN=AC/2=2.
∵PB=PC,BM=CM,∴PM⊥BM.
由勾股定理,有:PM=√(PB^2-BM^2)=√(9-4)=√5.
∵PA=PB,AN=BN,∴PN⊥BN.
由勾股定理,有:PN=√(PB^2-BN^2)=√(9-4)=√5.
取MN的中点为D.
∵PM=PN,∴PD⊥MD,∴cos∠PMD=DM/PC=(MN/2)/PM=1/√5=√5/5.
∴∠PMD=arccos(√5/5).
∵MN∥CA,∴∠PMD=PM与AC所成的角,∴PM与AC所成的角为arccos(√5/5).
第二个问题:
连结AM.
∵AB=AC,BM=CM,∴AM⊥BC,结合第一个问题中证得的PM⊥BC,得:
∠PMA就是二面角P-BC-A的平面角.
∵AB=AC=BC=4,∴AM=√3BM=2√3.
由余弦定理,有:
cos∠PMA=(PM^2+AM^2-PA^2)/(2PM×AM)=(5+12-9)/(2×√5×2√3)=2√15/15.
∴二面角P-BC-A的大小为arccos(2√15/15).