（2013•聊城二模）已知函数f（x）=1−a+lnxx在x=e上取得极值，a，t∈R，且t＞0．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 08:30:53

（2013•聊城二模）已知函数f（x）=

1−a+lnx

（Ⅰ）∵f(x)＝
1−a+lnx
x（x＞0），
∴f′(x)＝
a−lnx
x2．
∵函数f（x）在x=e上取得极值，
∴f′(e)＝
a−1
e2＝0，即a=1．
验证可知，a=1时，函数f（x）在x=e上取得极大值．
（Ⅱ）g′(x)＝f(x)+(x−1)f′(x)＝
x−1+lnx
x2，
则g′（1）=0，且x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴当t∈（0，1]时，g（x）在（0，t]上单调递减，g（x）_min=g（t）=
(t−1)lnt
t；
当t∈（1，+∞）时，g（x）在（0，1]上单调递减，在（1，t]上单调递增，g（x）_min=g（1）=0
综上所述，g（x）_min=

(t−1)lnt
t，t∈(0，1]
0，t∈(1，+∞)．
（Ⅲ）证明：构造函数h（x）=xf（x）-tx，x∈（0，+∞）
则h（x）=lnx-tx，h′（x）=
1−tx
x；
∴x∈（
1
t，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．
∵x₁，x₂∈（
1
t，+∞），且x₁≠x₂，
∴x₁＞x₂时，h（x₁）＜h（x₂），
∴x₁f（x₁）-x₂f（x₂）＜t（x₁-x₂），
即
x1f(x1)−x2f(x2)
x1−x2＜t；
同理，x₁＜x₂时也成立．
所以，对任意的x₁，x₂∈（
1
t，+∞），且x₁≠x₂，都有
x1f(x1)−x2f(x2)
x1−x2＜t．

（2013•聊城二模）已知函数f（x）=1−a+lnxx在x=e上取得极值，a，t∈R，且t＞0．已知函数f（x）=12x4+bx3+cx2+dx+e（x∈R）在x=0和x=1处取得极值．已知 f(x)=ax^3+bx^2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,函数取得极值1 已知函数f(x)=(ax^2-1)e^x,a∈R.(1)若函数f(x)在x=1时取得极值,求a的值.(2)当a≤0时,求已知函数f(x)=x³+ax²-x-a,x∈R,且当x=1时,f(x)取得极值. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=x−2x+1，若对任意实数t∈[12，2]，都有f（t+a）- 已知函数f（x）=1−m+lnxx 已知函数f（x）=lnxx 已知定义在r上的函数f(x)=x^2(ax-3),其中a属于r,且a不为0 （1）若x=1是函数f（x）的一个极值点,求已知函数f(x)＝13ax3−12(a+1)x2+bx(a，b∈R，a≠1，a＞0)在x=1时取得极值．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a#0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,取得极值1,求f(x)的解析式已知函数f（x）=ln（x+a）-x^2-x在x=0处取得极值