作业帮已知函数f（x）=lnxx
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 04:23:02
已知函数f（x）=
| lnx |
| x |
（1）定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=
1-lnx
x2，
令f′（x）=0，解得x=e，
当f′（x）＞0，解得0＜x＜e，
当f′（x）＜0，解得x＞e，
∴f（x）的单调递增区间为（0，e）；f（x）的单调递减区间为（e，+∞）．
（2）∵不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴m＞
lnx
x，对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求f（x）=
lnx
x 在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（1）知：f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
当2a≤e时，即0＜a≤
e
2时，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）max=f（2a）=
ln2a
2a；
当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）max=f（2a）=
lna
a；
当a＜e＜2a时，即
e
2＜a＜e时，f（x）在[a，e]上单调递增，f（x）在[e，2a]上单调递减，
∴f（x）max=f（e）=
1
e．
综上得：
当0＜a≤
e
2时，m＞
ln2a
2a；
当a≥e时，m＞
lna
a；
当
e
2＜a＜e时，m＞
1
e．
∴f′（x）=
1-lnx
x2，
令f′（x）=0，解得x=e，
当f′（x）＞0，解得0＜x＜e，
当f′（x）＜0，解得x＞e，
∴f（x）的单调递增区间为（0，e）；f（x）的单调递减区间为（e，+∞）．
（2）∵不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴m＞
lnx
x，对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求f（x）=
lnx
x 在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（1）知：f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
当2a≤e时，即0＜a≤
e
2时，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）max=f（2a）=
ln2a
2a；
当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）max=f（2a）=
lna
a；
当a＜e＜2a时，即
e
2＜a＜e时，f（x）在[a，e]上单调递增，f（x）在[e，2a]上单调递减，
∴f（x）max=f（e）=
1
e．
综上得：
当0＜a≤
e
2时，m＞
ln2a
2a；
当a≥e时，m＞
lna
a；
当
e
2＜a＜e时，m＞
1
e．