一道数学分析证明题（急）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 05:35:07

一道数学分析证明题（急）
数列{a(n)}单调递增,且lim（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n = a (n趋于无穷),求证：a（n）趋于a

证明：
① 往证 an 有界,an 收敛；
∵ lim（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n = a ,收敛数列必有界,
∴ 存在 M ,对任意n∈N ,（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n < M ,从而：
an/2 = (nan)/2n ≤（a(1)+a(2)+…+an+a(n+1)+...+a(2n)）/2n < M
故：an 有界,又{a(n)}单调递增,所以{a(n)}收敛；
② 往证：lim(n->∞) an = a
设：lim(n->∞) an = c
则由Cauchy第一收敛定理：
lim(n->∞)（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n = c
故 lim(n->∞) an = a
【证毕】
【附：Cauchy第一收敛定理：】
lim(n->∞) an =a ,求证：lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
证明：
① 对任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
对 ε/2 >0 ,存在 N1,当n>N1时,|an-a| max{ M ,N1} 时:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε
② 故存在 N = max{ [M] ,N1} ∈Z+
③ 当 n>N 时,
④ 恒有：|(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立.
∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
{此定理也可直接利用 O'Stoltz 定理证明}

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