(2014•重庆三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率为53,定点M(2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 23:30:18
(2014•重庆三模)已知椭圆C:
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(Ⅰ)由 5 9=e2= a2−b2 a2=1− b2 a2,得 b a= 2 3.…(2分) 依题意△MB1B2是等腰直角三角形,从而b=2,故a=3.…(4分) 所以椭圆C的方程是 x2 9+ y2 4=1.…(5分) (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+2. 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去x得 (4m2+9)y2+16my-20=0.…(7分) 所以 y1+y2= −16m 4m2+9,y1y2= −20 4m2+9.…(8分) 若PM平分∠APB,则直线PA,PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.…(9分) 设P(a,0),则有 y1 x1−a+ y2 x2−a=0. 将 x1=my1+2,x2=my2+2代入上式,整理得 2my1y2+(2−a)(y1+y2) (my1+2−a)(my2+2−a)=0, 所以 2my1y2+(2-a)(y1+y2)=0.…(12分) 将 y1+y2= −16m 4m2+9,y1y2= −20 4m2+9代入上式,整理得 (-2a+9)•m=0.…(13分) 由于上式对任意实数m都成立,所以 a= 9 2. 综上,存在定点P( 9 2,0),使PM平分∠APB.…(14分)
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