已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 19:48:39

已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，求使得

f(2

（1）令a=b=0，则f（0）=0；令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0…（3分）
（2）∵f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），
再令a=-1，b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1）=0⇒f（-1）=0，
故f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数 …（7分）
（3）当ab≠0时，
f(ab)
ab＝
f(a)
a+
f(b)
b
令g(x)＝
f(x)
x，即f（x）=xg（x），则g（ab）=g（a）+g（b）⇒g（aⁿ）=ng（a）
故f（aⁿ）=aⁿg（aⁿ）=naⁿg（a）=na^n-1•ag（a）=na^n-1f（a）⇒
f(an)
n＝an−1f(a)，
故
f(2−n)
n＝(
1
2)n−1f(
1
2)，∵f(1)＝f(2×
1
2)＝2f(
1
2)+
1
2f(2)＝2f(
1
2)+1＝0，∴f(
1
2)＝−
1
2，
由
f(2−n)
n＞−
1
8(n∈N*)⇔(
1
2)n−1f(
1
2)＞−
1
8⇔(
1
2)n＜
1
8⇔n＞3
故符合题意的最小正整数n的值为4． …（12分）