已知函数f（x）=sin²x+acosx+5/8a-3/2,a∈R当a=1时求函数f（x）的最大值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 16:34:15

已知函数f（x）=sin²x+acosx+5/8a-3/2,a∈R当a=1时求函数f（x）的最大值
对于区间【0,π/2】上任意一个x,都有f（x）≤1成立,求实数a的取值范围

（1）当a=1时f(x)=sin²x+cosx-7/8 对f(x)求导,得：f′(x)=2sinxcosx-sinx=sinx(2cosx-1) 令f′(x)=0,得：sinx=0或cosx=1/2 分析其一个周期x∈[0,2π] 当x∈（0,π/3）时,f′(x)＞0,f(x)单调递增当x∈（π/3,π）时f′(x)＜0,f(x)单调递减当x∈（π,5π/3）时,f′(x)＞0,f(x)单调递增当x∈（5π/3,2π）时,f′(x)＜0,f(x)单调递减比较两个极大值f(π/3)和f(5π/3)得：f(5π/3)=f(π/3)=3/8 所以当a=1时,f(x)的最大值为3/8 （2）令t=cosx,则1-t²=sin²x,对于x∈[0,π/2],有t∈[0,1] 于是f(x)=1-t²+at+(5/8)a-3/2=-t²+at+(5/8)a-1/2 令g(t)=-t²+at+(5/8)a-1/2,当g(t)取得最大值时,对应的f(x)也能取得相等的最大值对g(t)求导,得：g′(t)=a-2t 当a≤0时,对于t∈[0,1]有g′(t)≤0,g(t)在t∈[0,1]上单调递减于是当t=0时g(t)取得最大值g(0)=(5/8)a-3/2＜0,符合题设当a＞2时,g′(t)在t∈[0,1]上为正,g(t)在t∈[0,1]上单调递增,于是当t=1时g(t)取得最大值g(1)=(13/8)a-3/2 令(13/8)a-3/2≤1,得：a≤20/13＜2,不符合当0＜a≤2时,g′(t)在t∈[0,a/2)时为正,在t∈(a/2,1]时为负于是当t∈[0,a/2)时,g(t)单调递增；当t∈(a/2,1]时,g(t)单调递减当t=a/2时g(t)取得最大值g(a/2)=a²/4+(5/8)a-1/2 令g(a/2)≤1,得a²/4+(5/8)a-3/2≤0,即2a²+5a-12≤0,(2a-3)(a+4)≤0 解出-4≤a≤3/2,于是0＜a≤3/2 ∴所求a的范围是a≤3/2

已知函数f（x）=sin²x+acosx+5/8a-3/2,a∈R当a=1时求函数f（x）的最大值已知函数f(x)=sin^2x+acosx+5a/8-3/2,a∈R.当a=1,求函数f(x)的最大值已知函数f（x）=sin^2x+acosx+5a/8-3/2,a∈R,对于区间[0,π/2]上的任意一个x, 已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R（1)当a=1时,求函数最大值.（2）对于区间【0 已知f(x)=sin(x+π/6)+sin(x-π/6)+acosx+b,(a,b∈R,且均为常数).（1）求函数f(x 已知函数f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R) （1）当a=3时,求函数f（x）在[1/2,2]上的最大值和已知函数f(x）=sin²x+√3sinxcosx+2cos²x,x∈R （1）当函数y取得最大值时已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x,x∈R.求：⑴函数f（x）的最大值及求当函数f(x)=sin^2x+αcosx-1/2α-3/2（x∈R）的最大值为1时a的值已知函数f(x)=sinx^2+acosx+5/8a-2/3,a∈R 已知函数f(x)=sin^2x+acosx-2a,对任意x∈R,都有f(x) 已知f(x)=sin方x+acosx+5/8a-3/2,a∈R.