作业帮线性代数: 如何证明线性无关
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 00:15:52
线性代数: 如何证明线性无关
假设矩阵A是n*n的,A^(m-1)!=0但是A^m=0矩阵.证明存在向量B使得
B,A*B,A^2*B,A^(m-1)*B线性无关.
假设矩阵A是n*n的,A^(m-1)!=0但是A^m=0矩阵.证明存在向量B使得
B,A*B,A^2*B,A^(m-1)*B线性无关.
A^(m-1)!=0,所以存在向量B使A^(m-1)*B!=0.
那么,我们要证明的就是上面选取的这个向量B是符合条件的.
存在有限实数列a(0),a(1),...,a(m-1)满足：
a(0)*B+a(1)*A*B+a(2)*A^2*B+...+a(m-1)*A^(m-1)*B=0 (*)
两边同左乘以A^(m-1),有：
a(0)*A^(m-1)*B=0（因为A^m=0）
根据条件,知道a(0)=0.
接下来,化简(*)式,去掉第一项,然后两边同左乘A^(m-2),可得到a(1)=0.
如此类推,整个实数列恒为0.
于是B,A*B,A^2*B,...,A^(m-1)*B线性无关.
那么,我们要证明的就是上面选取的这个向量B是符合条件的.
存在有限实数列a(0),a(1),...,a(m-1)满足：
a(0)*B+a(1)*A*B+a(2)*A^2*B+...+a(m-1)*A^(m-1)*B=0 (*)
两边同左乘以A^(m-1),有：
a(0)*A^(m-1)*B=0（因为A^m=0）
根据条件,知道a(0)=0.
接下来,化简(*)式,去掉第一项,然后两边同左乘A^(m-2),可得到a(1)=0.
如此类推,整个实数列恒为0.
于是B,A*B,A^2*B,...,A^(m-1)*B线性无关.