作业帮线性代数问题,证明向量组线性无关
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 02:44:49
线性代数问题,证明向量组线性无关
设矩阵A的秩等于r,试证明：
如果存在列向量A1,A2,...Ar属于A,B1,B2,...Br属于A,使得A=A1B1T+A2B2T+...ArBrT成立,则向量组A1,A2,...Ar,与B1,B2,...Br分别线性无关.
T表示转制.
设矩阵A的秩等于r,试证明：
如果存在列向量A1,A2,...Ar属于A,B1,B2,...Br属于A,使得A=A1B1T+A2B2T+...ArBrT成立,则向量组A1,A2,...Ar,与B1,B2,...Br分别线性无关.
T表示转制.
A=a1b1T+.+arbrT=(a1,a2,...ar)(b1T,b2T,...brT)T,【写成行向量和列向量乘积的形式】
记：C=(a1,a2,...ar),B=(b1T,b2T,...brT)T,则有：
CB=A
rank（CB）=rank（A）=r
r=rank（CB）≤min{rank(C),rank(B)}
不妨设：rank(B)≤rank(C),那么：r=rank(CB)=rank(B)
矩阵B的秩最大就是r,那么：r=rank(CB)=rank(B)≤r,那么rank(B)=r
那么构成矩阵B的行向量组的秩就是r,那么b1T,b2T,...brT线性无关,即b1,b2,...br线性无关.
因为b1T,b2T,...brT线性无关的,即rank(B)=r,而rank(C)最大也是r,即rank(C)≤r.同样的方法可以得到：rank(C)=r,那么a1,a2,...,ar线性无关.
记：C=(a1,a2,...ar),B=(b1T,b2T,...brT)T,则有：
CB=A
rank（CB）=rank（A）=r
r=rank（CB）≤min{rank(C),rank(B)}
不妨设：rank(B)≤rank(C),那么：r=rank(CB)=rank(B)
矩阵B的秩最大就是r,那么：r=rank(CB)=rank(B)≤r,那么rank(B)=r
那么构成矩阵B的行向量组的秩就是r,那么b1T,b2T,...brT线性无关,即b1,b2,...br线性无关.
因为b1T,b2T,...brT线性无关的,即rank(B)=r,而rank(C)最大也是r,即rank(C)≤r.同样的方法可以得到：rank(C)=r,那么a1,a2,...,ar线性无关.