（2014•临沂三模）如图，已知鞭形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠BA

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 09:13:59

（2014•临沂三模）如图，已知鞭形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，∠EFA=60°，点H，G分别是线段EF，BC的中点，点M为HE的中点．
（Ⅰ）求证：MG∥平面ADF．
（Ⅱ）求证：平面AHC⊥平面BCE．

证明：（Ⅰ）取AD的中点N，连接FN，NG，
∵G为BC的中点，ABCD为直角梯形，AB=2CD=4，
∴NG∥AB，且NG=
AB+CD
2=3，
又ABEF为菱形，
∴EF∥AB，且EF=AB=4，
又∵H为EF的中点，M为HE的中点，
∴FM=3，且FM∥NG，
∴四边形FMGN为平行四边形．
∴MG∥FN，
又∵FN⊂平面ADF，MG⊄平面ADF，
∴MG∥平面ADF．
（Ⅱ）连接AE，因为ABFE为菱形，∠EFA=60°，H为EF的中点，
∴AH⊥EF，即有AH⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，AB为面ABEF与面ABCD的交线，
∴AH⊥面ABCD，
∵BC⊂平面ABCD，
∴AH⊥BC，
∵在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=4，CD=AD=2，
∴∠ABC=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=135°
又在△ADC中，∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°，即AC⊥BC，
又AH⊂平面AHC，AC⊂平面AHC，
∴BC⊥平面AHC，
∵BC⊂平面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE．

（Ⅰ）取AD的中点N，连接FN，NG，由于G为BC的中点，ABCD为直角梯形，AB=2CD=4，进而可知NG∥AB，且NG=3，又ABEF为菱形，推断出EF∥AB，且EF=AB=4，又H为EF的中点，M为HE的中点，推断出FM=3，且FM∥NG，进而可知四边形FMGN为平行四边形，即MG∥FN，利用线面平行的判定定理知MG∥平面ADF．
（Ⅱ）连接AE，因为ABFE为菱形，∠EFA=60°，H为EF的中点，根据AH⊥EF，即有AH⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，AB为面ABEF与面ABCD的交线，进而可知AH⊥面ABCD，根据线面垂直的性质可知AH⊥BC，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=4，CD=AD=2，进而可求得∠ABC，根据AB∥CD，求得∠BCD，又在△ADC中，∠ADC=90°，AD=CD，
求得∠ACD，进而可知∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°，即AC⊥BC，根据线面垂直的判定定理知BC⊥平面AHC，最后根据面面垂直的判定定理推断出平面AHC⊥平面BCE．