作业帮已知函数f（x）=x+sinx．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 05:36:38
已知函数f（x）=x+sinx．
（1）设P，Q是函数f（x）的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在[0，
]
（1）设P，Q是函数f（x）的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在[0，
| π |
| 2 |
（1）∵f（x）=x+sinx
∴f'（x）=1+cosx≥0
∴函数f（x）在R上单调递增
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则
y2−y1
x2−x1＞0，即kPQ＞0
∴直线PQ的斜率大于0；
（2）依题意得，设Q(x)＝g(x)−f(x)＝axcosx−x−sinx，x∈[0，
π
2]，
1°当a≤0时，Q（x）≤0恒成立； …（8分）
2°当a＞0时，Q'（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，…（10分）
①0＜a≤2时，Q'（x）≤0，Q（x）在[0，
π
2]上单调递减，
所以Q（x）≤Q（0）=0恒成立；…（12分）
②a＞2时，注意到当x∈[0，
π
2]时，x≥sinx，
于是Q（x）=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x（acosx-2），
必存在x0∈(0，
π
2)，使得当x∈（0，x0）时，有Q（x0）＞0，不能使Q（x）≤0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为a≤2． …（16分）
∴f'（x）=1+cosx≥0
∴函数f（x）在R上单调递增
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则
y2−y1
x2−x1＞0，即kPQ＞0
∴直线PQ的斜率大于0；
（2）依题意得，设Q(x)＝g(x)−f(x)＝axcosx−x−sinx，x∈[0，
π
2]，
1°当a≤0时，Q（x）≤0恒成立； …（8分）
2°当a＞0时，Q'（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，…（10分）
①0＜a≤2时，Q'（x）≤0，Q（x）在[0，
π
2]上单调递减，
所以Q（x）≤Q（0）=0恒成立；…（12分）
②a＞2时，注意到当x∈[0，
π
2]时，x≥sinx，
于是Q（x）=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x（acosx-2），
必存在x0∈(0，
π
2)，使得当x∈（0，x0）时，有Q（x0）＞0，不能使Q（x）≤0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为a≤2． …（16分）
已知函数f（x）=x+sinx．
已知函数f（x）=2sinx+1．
已知函数f（x）=sinx+sin（x+π2），x∈R．
已知函数f（x）=sinx+cos（π﹣x），x∈R．
已知函数f（x）=sinx+cos（π-x），x∈R．
已知函数f（x）=cosx+sinx，则函数f（x）在x
（2003•天津）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
已知函数f（x）=23sinxcosx-（sinx+cosx）（sinx-cosx）．
已知函数f(x)=log1/2（sinx-cosx）
已知函数f（x）=（sinx-cosx）sinx/sinx
已知函数f（x）=sinx(sinx≥cosx)cosx(cosx＞sinx)
已知函数f(x)=2sinx(sinX+cosX)