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如图一,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,PQ平行BA交A

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 08:42:11
如图一,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,PQ平行BA交AD于点
,PS平行BC交DC于点S,四变形PQRS是平行四边形.
(1)当点P与点B重合时,图一变为图二,若∠ABD=90度,求证:△ABR全等于△CRD;
(2)对于图一,若四边形PRDS也是平行四边形,此时,你能推出四边形ABCD还应满足社么条件?
(1)可先证CR⊥BD,根据等腰三角形“三线合一”的性质,求得∠BCR=∠DCR,进而求得∠BAR=∠DCR,又有AB=CR,AR=BC=CD,可证△ABR≌△CRD;
(2)由PS‖QR,PS‖RD知,点R在QD上,故BC‖AD.又由AB=CD知∠A=∠CDA因为SR‖PQ‖BA,所以∠SRD=∠A=∠CDA,从而SR=SD.由PS‖BC及BC=CD知SP=SD.而SP=DR,所以SR=SD=RD故∠CDA=60度.因此四边形ABCD还应满足BC‖AD,∠CDA=60°证明:(1)∵∠ABD=90°,AB‖CR,
∴CR⊥BD.
∵BC=CD,
∴∠BCR=∠DCR.
∵四边形ABCR是平行四边形,
∴∠BCR=∠BAR.
∴∠BAR=∠DCR.
又∵AB=CR,AR=BC=CD,
∴△ABR≌△CRD.
(2)由PS‖QR,PS‖RD知,点R在QD上,
故BC‖AD.
又由AB=CD知∠A=∠CDA,
因为SR‖PQ‖BA,
所以∠SRD=∠A=∠CDA,从而SR=SD.
由PS‖BC及BC=CD知SP=SD.而SP=DR,所以SR=SD=RD故∠CDA=60°.
因此四边形ABCD还应满足BC‖AD,∠CDA=60°.
(注:若推出的条件为BC‖AD,∠BAD=60°或BC‖AD,∠BCD=120°等亦可.)