（2014•闸北区三模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/11 05:55:14

（2014•闸北区三模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设

如图所示，建立直角坐标系．

则B（0，0），A（2，0），C（0，a），D（1，a）．
∵

AP=x

AD，
∴

BP＝

BA+x

AD=（2，0）+x（-1，a）=（2-x，xa）．
∴

PB=（x-2，-xa），

PC=（0，a）-（2-x，xa）=（x-2，a-ax）．
∴y＝

PB•

PC=（x-2）²-ax（a-ax）
=（1+a²）x²-（4+a²）x+4．x∈[0，1]．
①当a=2时，y=f（x）=5x²-8x+4=5(x−
4
5)2+
4
5．
当x=
4
5时，函数y取得最小值
4
5；
又f（0）=4，f（1）=1，∴函数f（x）的最大值为4．
因此函数f（x）的值域为：[
4
5，1]．
②对任意a＞0，都有f（1）=1+a²-（4+a²）+4=1成立，正确；
③对任意a＞0，函数f（x）=(1+a2)[x−
4+a2
2(1+a2)]2+
8a2−a4
4(1+a2)．
当a≥
2时，0＜
4+a2
2(1+a2)≤1，而f（0）=4，f（1）=1，因此函数f（x）的最大值等于4；
当0＜a＜
2时，
4+a2
2(1+a2)＞1，∴函数f（x）在[0，1]内单调递减，而f（0）=4取得最大值．
综上可知：对任意a＞0，函数f（x）的最大值都等于4．
④由③可知：当a≥
2时，当x＝
4+a2
2(1+a2)时，函数f（x）取得最小值
8a2−a4
4(1+a2)，令
8a2−a4
4(1+a2)=0，
解得a=2
2，当a=2
2时，使得函数f（x）最小值为0．
当0＜a＜
2时，
4+a2
2(1+a2)＞1，∴函数f（x）在[0，1]内单调递减，而f（1）=1取得最小值．
综上可知：存在实数a=2
2＞0，使得函数f（x）最小值为0．
综上可知：只有②③④正确．
故答案为：②③④．

（2014•闸北区三模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,∠A=60°,AB=2CD,点E,F分别为AB,AD的中点,连结EF 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE垂直BC 如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD=1,BC=3,CD=4,EF为梯形中位线,求AB,EHCF为菱形如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、如图在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD垂直CD,AE垂直BC于E,AB=BCE,AB=BC求证CD=CE 如图在直角梯形ABCD中,AB‖DC,AB⊥BC,角A=60°,AB=2CD,E、F分别为AB、AD的中点.连接EF、如图在直角梯形ABCD中 AB//DC AB⊥BC ∠A=60° AB=2CD E.F分别为AB.AD中点联结EF 如图,在直角梯形ABCD中,AB//CD,AD⊥CD于D,AE⊥BC于E,AB=BC,求证:CD=CE 如图在直角梯形ABCD中,AB//CD,AD垂直DC,AB=BC,且AE垂直BC 如图已知四棱锥P-ABCD,PA垂直于平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,角A=90,AB//CD,AB=1/2CD, 如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；