设f(n)为关于n(n∈N)的k次多项式,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意正整数n,an+Sn=f(

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 00:33:52

设f(n)为关于n(n∈N)的k次多项式,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意正整数n,an+Sn=f(n)都成立
(1)若k=0,求证:{an}为等比数列
(2)确定所有自然数k,使数列{an}成等差数列

证明：(1)当k=0时,f(n)是一个常数（n的0次方）
因为对于任意正整数n,an+Sn=f(n)都成立,所以当n=1时,a1=S1=1,f(n)=f(1)=2
那么,Sn=2-an
则,an=Sn-S[n-1]=(2-an)-(2-a[n-1])=a[n-1]-an
得：an/a[n-1]=1/2,故an=(1/2)^(n-1) (n∈N*)
(2)由(1)可知,an=Sn-S[n-1]=[f(n)-an]-[f(n-1)-a[n-1]]
化简得：2an=a[n-1]+f(n)-f(n-1)
当{an}为等差数列时,令公差为d,则an=a1+(n-1)d=dn+1-d
上式变为2(dn+1-d)=d(n-1)+1-d+f(n)-f(n-1)
有f(n)-f(n-1)=dn+1
迭代可知f(n)=f(1)+(dn+1)+[d(n-1)+1]+…+(2d+1)=n+1+(2+n)(n-1)d/2=dn²/2+(d/2+1)n+1-d
所以：当d=0时,k=1；当d≠0时,k=2.

设f(n)为关于n(n∈N)的k次多项式,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意正整数n,an+Sn=f( 设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn= 设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=(Sn/n)+2(n-1)(n∈N*) 求证:数列an为等差数列, 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈正整数) 设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096 设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4096．设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096若数列｛log2底an｝的前n项和记为f（n）,求设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意正整数,都有Sn=n(a1+an)/2,证明{an}是等差数列. 已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5（n∈N*）,求数列｛an｝的前n项和Sn,设设数列{an}的前n 项和为Sn,对于任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,设bn=(4+an)/(1-an)(n∈ 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-n（n-1）（n∈N+）设数列{an}的前n项和为sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*)