作业帮有关 例2设数列{an}满足a（n+1）=（an）²-n(an)+1,n=1,2,3,…(1)当a1=2时,求
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 04:43:09
有关
例2设数列{an}满足a（n+1）=（an）²-n(an)+1,n=1,2,3,…
(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,由此猜想出an的一个通项公式,并证明
(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有an≥n+2
(1)由a1=2得a2=a1²-a1+1=3
同理可得：a2=3、a3=4、a4=5
由此猜想an的一个通项公式：an=n+1 (n≥1)
证明：①当n=1时,a1=2=1+1
∴n=1时,猜测正确
②假设n=k时,猜测正确,即ak=k+1
∵an+1=an²-nan+1
∴ak+1=ak²-kak+1=(k+1)²-k(k+1)+1=(k+1)+1
即n=k+1时,猜测正确
由①②知对n∈N*都有an=n+1
(2)①当n=1,a1≥3=1+2,不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立,即ak≥k+2,
那么,ak+1=ak(ak-k)+1
≥(k+2)(k+2-k)+1
=2k+4+1≥(k+1)+2
也就是说,当n=k+1时,原不等式成立
根据①和②,对于所有n≥1,有an≥n+2
在第②问中,ak+1=ak(ak-k)+1,如果由①问中得出的数列通式：an=n+1 (n≥1) 得出ak+1=ak(ak-k)+1=（k+1)（k+1-k)+1=K+2则小于（k+1)+2了
例2设数列{an}满足a（n+1）=（an）²-n(an)+1,n=1,2,3,…
(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,由此猜想出an的一个通项公式,并证明
(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有an≥n+2
(1)由a1=2得a2=a1²-a1+1=3
同理可得：a2=3、a3=4、a4=5
由此猜想an的一个通项公式：an=n+1 (n≥1)
证明：①当n=1时,a1=2=1+1
∴n=1时,猜测正确
②假设n=k时,猜测正确,即ak=k+1
∵an+1=an²-nan+1
∴ak+1=ak²-kak+1=(k+1)²-k(k+1)+1=(k+1)+1
即n=k+1时,猜测正确
由①②知对n∈N*都有an=n+1
(2)①当n=1,a1≥3=1+2,不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立,即ak≥k+2,
那么,ak+1=ak(ak-k)+1
≥(k+2)(k+2-k)+1
=2k+4+1≥(k+1)+2
也就是说,当n=k+1时,原不等式成立
根据①和②,对于所有n≥1,有an≥n+2
在第②问中,ak+1=ak(ak-k)+1,如果由①问中得出的数列通式：an=n+1 (n≥1) 得出ak+1=ak(ak-k)+1=（k+1)（k+1-k)+1=K+2则小于（k+1)+2了
第一问和第二问前提就不一样（第一问当a1=2时,第二问当a1≥3时,）,它们没关系,第二问不能直接能第一问得出的结论.
已知数列{an}满足a1=33,a（n+1）-an=2n,求an/n的最小值
设数列{an}满足a1+3 a2+3^2 a3+……+3^n-1 an=n/3,a属于N* 求数列{an}的通项
在数列an中,a1=1,且满足a（n+1）=3an +2n,求an
设数列{an}中,a1=2,a(n+1)=an+n+1,求an
设数列{an},a1=3,an+1=3an-2（n∈N*）
设数列｛an｝满足an+1/an=n+2/n+1,且a1＝2
数列｛an｝满足a1=1,且an=an-1+3n-2,求an
设数列an满足a1=2 an+1-an=3-2^2n-1
设数列{an},a1=2,a（n+1）=an+In·（1+1/n）,求an
设b＞0,数列an满足a1=b,an=nban-1/an-1+n-1（n≥2）求数列an通向公式.
设b＞0,数列an满足a1=b,an=nban-1/an-1+n-1（n≥2）求数列an通向公式
设数列{an}满足a1+3a2+3^2a3+.3^n-1×an=n/3,a∈N+.