作业帮已知函数f（x）=x3-ax2+3x；
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/17 10:22:48
已知函数f（x）=x3-ax2+3x；
（1）若函数在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，求实数a的值；
（2）若函数在区间[1，+∞）内为增函数，求实数a的范围．
（1）若函数在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，求实数a的值；
（2）若函数在区间[1，+∞）内为增函数，求实数a的范围．
（1）f′（x）=3x2-2ax+3，
∵函数在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，
∴f′（1）=2，即3-2a+3=2，解得a=2．
（2）∵函数在区间[1，+∞）内为增函数，
∴f′（x）≥0即3x2-2ax+3≥0在[1，+∞）内恒成立，
∴a≤
3
2（x+
1
x），
而
3
2(x+
1
x)≥
3
2•2
x•
1
x=3，当且仅当x=1时取等号，
∴a≤3．
∵函数在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，
∴f′（1）=2，即3-2a+3=2，解得a=2．
（2）∵函数在区间[1，+∞）内为增函数，
∴f′（x）≥0即3x2-2ax+3≥0在[1，+∞）内恒成立，
∴a≤
3
2（x+
1
x），
而
3
2(x+
1
x)≥
3
2•2
x•
1
x=3，当且仅当x=1时取等号，
∴a≤3．