作业帮已知函数f（x）=x3-ax2-3x．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 22:50:51
已知函数f（x）=x3-ax2-3x．
（I）若x＝−
是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值
（I）若x＝−
| 1 |
| 3 |
（I）依题意，求导函数，可得f′（x）=3x2-2ax-3，
∵x＝−
1
3是f(x)的极值点
∴f′（-
1
3）=0，∴
1
3+
2
3a-3=0，∴a=4，
∴f（x）=x3-4x2-3x，f′（x）=3x2-8x-3，
令f′（x）=3x2-8x-3=0，解得x1=-
1
3，x2=3，
∴函数在（1，3）上单调减，（3，4）上单调增
而f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，∴f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅱ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，等价于方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x3-4x2-3x=bx的一个实数根，则方程x2-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则
△＝16+4(b+3)＞0
−3−b≠0，即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．
∵x＝−
1
3是f(x)的极值点
∴f′（-
1
3）=0，∴
1
3+
2
3a-3=0，∴a=4，
∴f（x）=x3-4x2-3x，f′（x）=3x2-8x-3，
令f′（x）=3x2-8x-3=0，解得x1=-
1
3，x2=3，
∴函数在（1，3）上单调减，（3，4）上单调增
而f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，∴f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅱ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，等价于方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x3-4x2-3x=bx的一个实数根，则方程x2-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则
△＝16+4(b+3)＞0
−3−b≠0，即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．