已知△ABC的三心：垂心H,外心O ,重心G三点共线,求证：GH=2OG

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 17:50:57

三点共线是必然的,专业说法：欧拉线.
证明：GH=2OG
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点. 连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC.连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC.所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD.由于G为重心,则GA:GD=2:1. 连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点.同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2.FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA
则GH：OH=AH：OD=2：1,原命题得证.
突然发现我最近有点犯晕,喜欢找难题来做,而且悬赏分不高的.练练手感,不要把高中的都忘了.

如图,在三角形ABC中,H为垂心,G为重心,O为外心.求证：H,G,O三点共线,且HG=2GO 设三角形ABC的外心为O,垂心为H,重心为G,求证:O,G,H三点共线关于欧拉定理的问题设O、G、H分别是三角形ABC的外心,重心和垂心,则1.O、G、H三点共线,2.OG=1/3 OH.如已知ABC为不共线三点,G为三角形ABC内一点,若（向量GA+GB+GC=0）,求证G为ABC重心? 设△ABC的外心为O,若存在一点H,使得向量OA+OB+OC=OH,求证:点H是△ABC的重心已知三角形ABC,AB=AC=5,BC=6,O是三角形ABC的外心,G是三角形的重心,求OG的长急.已知三角形ABC,AB=AC=5,BC=6,O是三角形ABC的外心,G是三角形的重心,求AO、OG的长三角形ABC的外心为O,重心为H,求证,向量OH=OA+OB+OC 已知ABC是平面不共线的三点,o是△ABC的重心,动点p满足向量OP=1/3(1/2向量OA+1/2向量OB+1/2向量如图,已知ABC中,三条内角平分线AD,BE,CF相交于点O,OG⊥BC于G,求证：BOD=GOC! 点O是平行四边形ABCD的重心,过O作EG垂直FH.分别交平行四边形ABCD个边于E,F,G,H,求证OE=OG 1、已知A、B、C是平面上不共线的三点,O为△ABC的外心,动点P满足向量OP=【（1-k）向量OA+（1-k）向量OB