作业帮已知函数f（x）=x3-ax2+10，
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 17:47:05
已知函数f（x）=x3-ax2+10，
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
（I）当a=1时，f′（x）=3x2-2x，f（2）=14，
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k=f′（2）=8，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为8x-y-2=0．
（II）．有已知得：a＞
x3+10
x2＝x+
10
x2，
设g(x)＝x+
10
x2(1≤x≤2)，g′(x)＝1−
20
x3，
∵1≤x≤2∴g′（x）＜0
所以g（x）在[1，2]上是减函数．
∴g(x)min＝g(2)＝
9
2，
所以a＞
9
2．
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k=f′（2）=8，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为8x-y-2=0．
（II）．有已知得：a＞
x3+10
x2＝x+
10
x2，
设g(x)＝x+
10
x2(1≤x≤2)，g′(x)＝1−
20
x3，
∵1≤x≤2∴g′（x）＜0
所以g（x）在[1，2]上是减函数．
∴g(x)min＝g(2)＝
9
2，
所以a＞
9
2．