如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 09:14:20

如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中

点为Q，连接PQ、DE．
（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；
（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．

（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．

因为CE⊥AB，P是BF的中点，
所以△BEF是直角三角形，且
PE是Rt△BEF斜边的中线，
所以PE=
1
2BF．
又因为AD⊥BC，
所以△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，
所以PD=
1
2BF=PE，
所以点P在线段DE的垂直平分线上．
同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，
所以QD=
1
2AC=QE，
所以点Q也在线段DE的垂直平分线上．
所以直线PQ垂直平分线段DE．
（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．
如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．
原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．

求证：直线PQ垂直且平分线段DE．
证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，
所以PD=
1
2BF，PE=
1
2BF，
所以PD=PE，
点P在线段DE的垂直平分线上．
同理可证QD=QE，
所以点Q在线段DE的垂直平分线上．
所以直线PQ垂直平分线段DE．

在锐角△ABC中,AD.CE分别是BC.AB边上的高,AD.CE相交于F,BF,的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ.Q 如图在三角形abc中ad,ce分别是bc,ab边上的高,ad,ce相交于f,bf的中点为p,ac的中点为q,连接pq, 如图,在锐角三角形ABC中,AD,CF分别是BC,AB边上的高,AD、CF相交于E,BE的中点为P,AC的中点为Q,连接如图,已知在三角形ABC中,BD,CE分别为AC,AB边上的高,P,Q分别是BC,DE的中点.求证：PQ垂直于DE 如图,E,F分别是正方形ABCD中AD,DC的中点,CE,BF相交于P,连接AP,求证AP=AB 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点在三角形ABC中,BF、CE是高,Q,P为EF,BC的中点,求证:PQ垂直EF 已知：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长如图,在等腰RT△ABC中,角C=90°,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE,连接D 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,BF‖AC交CE的延长线于点F 如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，且BF=BC．如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．