矩阵的相似对角矩阵是不是唯一的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 14:26:56

矩阵的相似对角矩阵是不是唯一的
反过来,如果改变对角矩阵的对角线元素的位置,会不会改变与其相似的矩阵
相似对角矩阵的相似矩阵是不是唯一的

标题里的问题已经很显然了,既然有次序的问题,当然不会是唯一的
不过真正重要的是,在不计次序的意义下是唯一的,或者说只要事先给定了排序规则,那么一定能得到唯一的标准型
证明很容易,只要验证任何两个对角元可以交换即可
D1=diag{a,b},D2=diag{b,a},
取 P=
0 1
1 0
那么P^{-1}=P^T且PD1P^{-1}=D2
注意这里采用的是酉相似变换,所以对于合同标准型同样适用
再问：改变对角矩阵个元素的次序对吗，那是不是无论怎么改变次序，这个对角矩阵相似矩阵不变呢
再答：如果仅仅是对角元的次序不同，这两个对角阵仍然是相似且合同的
再问：我的意思是，一个实对称矩阵的相似对角矩阵有多个，那一个对角矩阵的相似实对称矩阵是不是也存在多个
再答：一个一般的实对角阵D(除了单位阵的常数倍)显然可以相似于无穷多个实对称矩阵，因为对任何实正交阵Q而言A=QDQ^T都与D相似
再问： A=QDQ^-T,A,B^合同吧，不是相似。合同不一定相似的啊。相似要特征值相同的
再答：对于正交阵Q^T=Q^{-1}，正交相似变换既是相似变换也是合同变换

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