点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的中垂线EF分别交AC.AD.AB于E.O.F,且BC=2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 19:45:11

点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的中垂线EF分别交AC.AD.AB于E.O.F,且BC=2
①当CD=根号2时,求AE
②当CD=2[（根号2）-1]时,试证明四边形AEDF是菱形
我没看懂题目..
角C是直角
没学过相似性。

1、如图所示：因为没有图,所以先按照∠B是直角计算；
做DG平行EF交AC于G,则EO是ADG的中位线,AE=EG；做GH垂直CD交CD于H；则三角形CGH是等腰直角三角形；
角GDH+ADB=90；即角BAD=GDH；
则三角形ABD相似DHG；
AB:DH=BD:GH→2:(√2-GH)=(2-√2):GH；解得：GH=(3√2-2)/7；
即CG=GH*√2=(6-2√2)/7；则AG=2√2-CG=(16√2-6)/7;
即AE=AG/2=(8√2-3)/7;
如果按照∠C是直角计算：结果如下：非常简单
连接DE,因EF是中垂线,则AE=DE是等腰三角形；
即CE=2-AE；
直角三角形CDE中；CE²+CD²=DE²
CE²+2=（2-CE）²
CE=1/2；
则AE=3/2；
2、采取∠C是直角；
则有BD=2-2(√2-1)=4-√2；
则BD:CD=(4-√2):2(√2-1)=2:√2=AB:AC；
则AD是角平分线；
可证三角形AOE全等AOF（两角相等,有公共边）；即EO=OF；
即可知AD和EF相互垂直平分,则AEDF是菱形；