设n阶实对称矩阵A2=A

设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0设A=[aij],其中i,j=1,2,...,n令C=A^2=A×A,依据矩阵乘法法则,C中主对角线上元素cii就是A的第i行和A第i列元素对

a[i][j]=a[j][i]b[i][j]=b[j][i]a+b=c则c[i][j]=a[i][j]+b[i][j]=a[j][i]+b[j][i]=c[j][i]所以c是对称矩阵,也就是a+b是对

（1）A是n阶实对称幂等矩阵,故A的特征值只能是0和1故存在正交矩阵Q,使得(Q-1)AQ=diag（1,1,……,1,0,……,0）（2）设特征值1是r重,0是n-r重,则矩阵A-2I有r重特征值1

假设 λ 为A的特征值，因为A3+A2+A=3E，所以 λ3+λ2+λ-3=0．即　（λ3-1）+（λ2-1）+（λ-1）=0，得（λ-1）（λ2+2λ+3）=0．解得，

(A^2)^T=(A^T)^2=(-A)^2=A^2故A^2是对称的.

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实对称阵于是A=A‘（A的转置）,那么A²=AA’=0设A=（aij）,那么AA‘=（∑（aij）²）,于是（∑（aij）²=0,aij=0,对1≤i,j≤n,这就证明了

由于A是对称矩阵,因此存在正交矩阵T使得T^（-1）AT为对角矩阵,其中对角线上的元素为A的所有特征值,因此只要证A的特征值只有0和1即可由于A^2=A,所以A的特征是0或1,证毕

充分性：因为AB=BA,所以（AB）'=B'A'=BA=AB,从而AB是对称矩阵必要性：因为AB为对称矩阵,所以AB=（AB）'=B'A'=BA再问：在必要性中，(AB)'怎么=(BA)'的再答：AB

两侧的括号省略设A=abbca,bc均为实数.A^2=AA=ababbc乘bc按定义:AA=a^2+b^2ab+bcab+bcb^2+c^2由已知:A^2=0,即各元素均为0.得:a^2+b^2=0,

证明:必要性由于A,B都是n阶正定矩阵,根据正定矩阵的定义,A,B都是n阶对称矩阵,即A'=A,B'=B(这里A'表示A的转置矩阵).若AB正定,则AB也是对称矩阵,从而AB=(AB)'=B'A'=B

再答：判断矩阵B是不是对称的，就验证B的转置和它本身是否相等。再问：给力

（B-1AB)T=BTAT(B-1)T由于AT=A,B-1=BT,（B-1)T=（BT)T=B原式=B-1AB故B-1AB是对称矩阵

证明:因为A是实对称矩阵所以A相似于对角矩阵diag(λ1,λ2,...,λn)其中λi是A的特征值.因为相似矩阵有相同的秩,故r(A)=λ1,λ2,...,λn中非零数的个数.由A是实对称矩阵知A^

（结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n,否则是错的.例：取A=I,则A^2=I=A,但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n）证法一：令U={x

A^2=A,A的特征值是0和1.因为A是实对称矩阵,可对角化,所以A的秩就是对角化后非零主对角线元素的个数,所以A的特征值是r个1与n-r个0.所以2E-A的特征值是r个1与n-r个2,所以|2E-A

证明：设r是A的特征值,x是r对应的特征向量,则：x不等于零向量；Ax=rxAAx=A(rx)=r^2x=Ax=rx(r^2-r)x=0x不等于零向量,故r^2-r=0所以r=0或1

1.直接用定义验证x非零时x^TBx>0,当然也可以看特征值2.A=C^TC,那么AB合同于CBC^{-1},然后看特征值

设a是A的特征值则a^2-a是A^2-A的特征值因为A^2-A=0所以a^2-a=0所以a=1或a=0即A的特征值只能是1或0.又因为A为实对称矩阵,所以A必可正交对角化即存在正交矩阵T满足T^-1A