已知三角形ABC,CE=AF,求角BPF的度数

如下图,延长DF交AC于G,则有AD=AC,得出AF垂直CD,又因为CE垂直AB（AD）所以DG垂直AC（F为三角形ACD的垂心）角ACB=90度所以DG平行BC,即得FD平行BC

(1)由AF/FC=AD/DB,∠A是公共夹角,∴△ADF∽△ABC,∴DF‖BC.（2）由AF/FC=EB/CE（不是CE/EB）,∠C是公共夹角,∴△CEF∽△CBA,∴EF‖AB.由条件（1）.

ABC面积=AB×ACsinA÷2ADF面积=AD×AFsinA=(2AB/3)×(AC/4)sinA÷2所以ADF面积=ABC面积/6BDE面积=BD×BE×sinB÷2=(AB/3)×(BC/2)

证明：过D作DM‖AF,交CE于M在△DME和△AFE中,∠DEM=∠AEF,DE=AE,∠FAE=∠MDE∴△DME≌△AFE,AF=DM;∵AD是△ABC的中线∴D是BC的中点,DM=1/2BF∴

利用两次相似：首先：易证：△CAD∽△CBA所以：AC²=CD*CB同理△CAP∽CEA所以AC²=CP*CE所以CD*CB=CP*CE又∵∠BCE是公共角所以△CPD∽CBE所以

假设三角形EDC面积为a则三角形DEF面积为2a（EF=2CE,且同高）即三角形DEC面积为a+2a=3a三角形AFC面积就为3a/2（DF=2AF,且同高）即三角形ADC面积为3a+3a/2=9a/

AF平分∠CAE,所以∠CAF＝∠DAF又AD＝AC,AF＝AF所以三角形AFD与三角形AFC全等,所以∠ADF＝∠ACF又在直角三角形ABC中,CE⊥AB,所以∠ACF＝∠ABC,所以∠ADF＝∠A

过C作CG平行且等于AB;连接BG,DG,所以四边形ABGC为平行四边形,且AD=DG=1/2AG(平行四边形两对角线互相平分),又因为AE=ED,所以AE:EG=1:3三角形AEF相似于三角形GEC

分别延长AF与AG交BC边于点M,N因为角ABG=角NBG角AGB=NGB角=90度BG=BG所以三角形ABG全等于三角形NBG所以AG=NG,AB=NB同理AF=MF,AC=MC所以FG为三角形AM

关键点是做辅助线!过D点做DG平行于CF交AB于G,△BCF中,D为BC中点,则G为BF中点,△AGD中,E为AD中点,则F为AG中点,∴AF=FG=BG,AF=1/2BF证毕.

过C作CG平行且等于AB;连接BG,DG,所以四边形ABGC为平行四边形,且AD=DG=1/2AG(平行四边形两对角线互相平分),又因为AE=ED,所以AE:EG=1:3不难证三角形AEF相似于三角形

∵CE=12EF，∴EF=2CE又△DEF与△DCF有共同的顶点D，且底边EF，CF在同一条直线上，∴S△DEFS△DCF＝EFCF＝23．EF：CF=2：3，同理，△DCF与△DCA有共同的顶点C，

设BA＝a﹙向量﹚.BC＝b.BI＝tBE＝t﹙2a+b﹚/3＝BD+sDA＝b/2+s﹙a-b/2﹚＝sa+[﹙1-s﹚2]b得到t＝3/4s＝1/2BG＝uBE＝u﹙2a+b﹚/3＝BC+vCF＝

AG=AF,根据题意,bdce是△ABC的高,所以角ABD=角ACG.又因为BF=AC,CG=AB,所以三角形ABD≌三角形ACG,所以AG=AF.

AG=AF且AG⊥AF．AF=AG,∵BD、CE都是△ABC的高,∴∠ACG+∠BAC=90°,∠FBA+∠BAC=90°,∴∠ACG=∠FBA,∵BF=AC,CG=AB,∴△ACG≌△FBA,∴AF

因为BF=1/2AF,AE=1/2CE,CD=1/2BD三角形AEF相似三角形ABC,同理三角形BFD相似三角形BAC,三角形EDC相似三角形BAC所以EF=2/3AB,FD=2/3BC,DE=2/3

S△ABC=√3/4FB=AB-AF=1-XS△FBC/S△ABC=FB/AB=(1-X)/1=1-XS△FBC=(1-X)·S△ABCS△FBD/S△FBC=BD/BC=X/1=XS△FBD=X·S

S△ADF=1/2*AD*AF*sinA=1/2*1/(n+1)*AB*n/(n+1)*AC*sinA=n/(n+1)^2*S△ABC同理可得S△BDE=S△CEF=n/(n+1)^2*S△ABC所以

延长AF,与CB的延长线交于H.延长AG,与BC的延长线交于K.∵BD平分∠ABC,∴△ABF≌△HBF.AF=FH.AB=HG.∵CE平分∠ACK,∴△ACG≌△KCG.AG=GK.AC=KC.∴F

∵AE=AC/3,SΔABC=1∴SΔAEB=1/3过点D作DM∥BE,∵CD=BD/2∴CM=EM/2∴AE/AM=3/7,SΔADM=1/3*7/9=7/27由SΔAEN：SΔADM=(3/7)^