已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2)在椭圆上（2）已知直

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 12:18:16

已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2)在椭圆上（2）已知直线l过点F,且与椭圆交于A.B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得向量QA·QB=－7/16恒成立.若存在求出Q点坐标

已知椭圆C;x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,√2/2)在椭圆上（2）已知直线L过点F,且与椭圆交于A.B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得向量QA•QB=-7/16恒成立.若存在求出Q点坐标
c=1；将点(-1,√2/2)代入椭圆方程得：1/a²+1/(2b²)=1.(1)；a²-b²=1.(2)
由(1)得2b²+a²=2a²b²,将a²=b²+1代入得2b²+b²+1=2(b²+1)b²,2b⁴-b²-1=(2b²+1)(b²-1)=0,
故得b²=1,a²=2,于是得椭圆方程为x²/2+y²=1.即x²+2y²-2=0.
设过右焦点F(1,0)的直线方程为y=k(x-1),代入椭圆方程得x²+2k²(x-1)²-2=0,
化简得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0；设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)；依维达定理,可知：
x₁+x₂=4k²/(1+2k²)；x₁x₂=2(k²-1)/(1+2k²)；
y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]=k²[2(k²-1)/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1]=-k²/(1+2k²)；
设Q(m,0)；那么QA=(x₁-m,y₁)；QB=(x₂-m,y₂)；
于是QA•QB=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂
=2(k²-1)/(1+2k²)-4mk²/(1+2k²)+m²-k²/(1+2k²)=[(2m²-4m+1)k²+m²-2]/(1+2k²).(3)
令m²-2=-7/16.(4),得m²=2-7/16=25/16,故得m=5/4；
此时2m²-4m+1=50/16-5+1=50/16-4=-14/16.(5)；
将(4)和(5)代入(3)式得[(-14/16)k²-7/16]/(1+2k²)=-(7/16)(2k²+1)/(1+2k²)≡-7/16.
即x轴上存在一定点Q(5/4,0)使得QA•QB=-7/16【即此时QA•QB的值与直线y=k(x-1)的斜率无关】.

已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2)在椭圆上, 已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2)在椭圆上（2）已知直已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2) 已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0）的离心率为√2/2,点F为椭圆的右焦点,点A、B分别为椭圆的左右顶点已知椭圆C:X2/a2 Y2/b2=1(a>b>0)的短轴长2根号3,右焦点F与抛物线y2=4x的已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0）的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交Y轴于点已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0)的左焦点为F(-根号2,0),点F到右顶点的距离为根号3＋根号2,（一）已知椭圆k1:x2/a2+y2/b2=1((a>b>0)的右焦点F(c,0),抛物线K2:X2=2 py(P>0)的焦点已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF垂直于X轴,直线AB交Y轴已知椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F,y轴右侧的点A在椭圆E上运动,直线MA与圆C：x2+y 已知椭圆C：x2 a2 +y2 b2 =1 (a＞b＞0) （1）已知椭圆的长轴是焦距的2倍,右焦点坐标为F（1,0）, 已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)经过点A(2,3),焦距为4,M为右顶点,过右焦点F的直线l与椭圆于A,