点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过A作斜率为1的直线交椭圆于B点
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 13:47:05
点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过A作斜率为1的直线交椭圆于B点,点P在y轴上,且BP//x轴,向量AB*向量AP=9
(1)若点P的坐标为(0,1),求椭圆C的方程
(2)若点P的坐标为(0,t),求实数t的取值范围
(1)若点P的坐标为(0,1),求椭圆C的方程
(2)若点P的坐标为(0,t),求实数t的取值范围
由题意:椭圆的长轴长2a,短轴长为2b
∴A(0,-b)
∴直线AB的解析式为y=x-b
与椭圆连立得(b^2)(x^2)+(a^2)(x-b)^2-(a^2)(b^2)=0
∴(a^2+b^2)(x^2) -2(a^2)bx=0
∴x[(a^2+b^2)x - 2(a^2)b]=0
∴B的横坐标为2(a^2)b / (a^2+b^2)
再将其代入y=x-b可得B的纵坐标为[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)
∴B(2(a^2)b / (a^2+b^2),[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2))
∴P(0,[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2))
∴向量AB=(2(a^2)b / (a^2+b^2),2(a^2)b/(a^2+b^2))
向量AP=(0,2(a^2)b / (a^2+b^2))
∴向量AB*向量AP=[2(a^2)b / (a^2+b^2)]^2=9
∴2(a^2)b/(a^2+b^2)=3 ①
(1)∵P(0,1)
∴[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)=1 ②
①-②得 b=2
再将b=2代入①可得a=2√3
∴椭圆方程为 (x^2)/12 +(y^2)/4=1
(2)∵P(0,t)
∴[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)=t ③
①-③得:b=3-t
再将b=3-t代入①得a=(3-t)√[3/(3-2t)]
∵a>b>0
∴由a>0得t0得tb得t>0
综上所述∴0
∴A(0,-b)
∴直线AB的解析式为y=x-b
与椭圆连立得(b^2)(x^2)+(a^2)(x-b)^2-(a^2)(b^2)=0
∴(a^2+b^2)(x^2) -2(a^2)bx=0
∴x[(a^2+b^2)x - 2(a^2)b]=0
∴B的横坐标为2(a^2)b / (a^2+b^2)
再将其代入y=x-b可得B的纵坐标为[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)
∴B(2(a^2)b / (a^2+b^2),[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2))
∴P(0,[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2))
∴向量AB=(2(a^2)b / (a^2+b^2),2(a^2)b/(a^2+b^2))
向量AP=(0,2(a^2)b / (a^2+b^2))
∴向量AB*向量AP=[2(a^2)b / (a^2+b^2)]^2=9
∴2(a^2)b/(a^2+b^2)=3 ①
(1)∵P(0,1)
∴[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)=1 ②
①-②得 b=2
再将b=2代入①可得a=2√3
∴椭圆方程为 (x^2)/12 +(y^2)/4=1
(2)∵P(0,t)
∴[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)=t ③
①-③得:b=3-t
再将b=3-t代入①得a=(3-t)√[3/(3-2t)]
∵a>b>0
∴由a>0得t0得tb得t>0
综上所述∴0
点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过A作斜率为1的直线交椭圆于B点
如图 点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过A作斜率为1的直线交椭圆
已知点A是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的短轴上位于x轴下方的端点,过A作斜率为1的直线交椭圆于B点,
圆锥曲线方程的问题已知点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的短轴上位于x轴下方的端点.过A作斜
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如图,椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B.若椭圆是存在点C,是%C
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