作业帮已知函数f(x)＝(x+1)lnxx−1(x＞0且x≠1)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 11:35:30
已知函数f(x)＝
(x＞0且x≠1)
| (x+1)lnx |
| x−1 |
（1）∵f(x)＝
(x+1)lnx
x−1(x＞0且x≠1)
∴f′(x)＝
−2lnx+x−
1
x
(x−1)2
令g（x）=−2lnx+x−
1
x
则g′（x）=
−2
x+1+
1
x2=(
x−1
x)2
由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）单调递增，
又∵g（1）=0
故当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（2）证明：原不等式就是
(x+1)lnx
x−1−2＞0，即
x+1
x−1[lnx−
2(x−1)
x+1]＞0
令h（x）=lnx−
2(x−1)
x+1
则h′（x）=
1
x(
x−1
x+1)2
∵h′（x）≥0恒成立得，h（x）在（0，+∞）单调递增，
又∵h（1）=0
故当x∈（0，1）时，h（x）＜0，
x+1
x−1＜0，此时
x+1
x−1[lnx−
2(x−1)
x+1]＞0成立；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，
x+1
x−1＞0，此时
x+1
x−1[lnx−
2(x−1)
x+1]＞0成立；
∴当x＞0且x≠1时，f（x）＞2
(x+1)lnx
x−1(x＞0且x≠1)
∴f′(x)＝
−2lnx+x−
1
x
(x−1)2
令g（x）=−2lnx+x−
1
x
则g′（x）=
−2
x+1+
1
x2=(
x−1
x)2
由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）单调递增，
又∵g（1）=0
故当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（2）证明：原不等式就是
(x+1)lnx
x−1−2＞0，即
x+1
x−1[lnx−
2(x−1)
x+1]＞0
令h（x）=lnx−
2(x−1)
x+1
则h′（x）=
1
x(
x−1
x+1)2
∵h′（x）≥0恒成立得，h（x）在（0，+∞）单调递增，
又∵h（1）=0
故当x∈（0，1）时，h（x）＜0，
x+1
x−1＜0，此时
x+1
x−1[lnx−
2(x−1)
x+1]＞0成立；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，
x+1
x−1＞0，此时
x+1
x−1[lnx−
2(x−1)
x+1]＞0成立；
∴当x＞0且x≠1时，f（x）＞2
已知函数f(x)＝(x+1)lnxx−1(x＞0且x≠1)
已知函数f(x)＝1+lnxx
已知函数f（x）=1−m+lnxx
已知函数f(x)＝lnxx，
已知函数f（x）=lnxx
已知函数f（x）=1+lnxx，（x≥1）．
（2013•聊城二模）已知函数f（x）=1−a+lnxx在x=e上取得极值，a，t∈R，且t＞0．
已知函数f(x)＝a+lnxx(a∈R)．
（2010•宣武区二模）已知函数f(x)＝lnxx．
已知函数f(x)=ln(1+x)/x,当x>-1且x=0时,不等式f(x)
已知函数f（x）满足2f（x）+f(1/x)=2x,且x∈R,≠0,则f（x）=
已知函数f(x)＝2−x−1(x≤0)f(x−1)(x＞0)，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a