（2012•海淀区二模）在正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AB，BB'，B'C'，C'D'的中点分别是E，F，G，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 00:12:24

（2012•海淀区二模）在正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AB，BB'，B'C'，C'D'的中点分别是E，F，G，H，如图所示．
（Ⅰ）求证：AD'∥平面EFG；
（Ⅱ）求证：A'C⊥平面EFG；
（Ⅲ）判断点A，D'，H，F是否共面？并说明理由．

（Ⅰ）证明：连接BC'，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=C'D'，AB∥C'D'．
所以，四边形ABC'D'是平行四边形，所以，AD'∥BC'．
因为 F，G分别是BB'，B'C'的中点，所以 FG∥BC'，所以，FG∥AD'．
因为 EF，AD'是异面直线，所以，AD'⊄平面EFG．
因为 FG⊂平面EFG，所以，AD'∥平面EFG．

（Ⅱ）证明：连接B'C，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，A'B'⊥平面BCC'B'，BC'⊂平面BCC'B'，所以，A'B'⊥BC'．
在正方形BCC'B'中，B'C⊥BC'，
因为 A'B'⊂平面A'B'C，B'C⊂平面A'B'C，A'B'∩B'C=B'，所以，BC'⊥平面A'B'C．
因为 A'C⊂平面A'B'C，所以，BC'⊥A'C．
因为 FG∥BC'，所以，A'C⊥FG，同理可证：A'C⊥EF．
因为 EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，所以，A'C⊥平面EFG．

（Ⅲ）点A，D'，H，F不共面．理由如下：
假设A，D'，H，F共面．连接C'F，AF，HF．
由（Ⅰ）知，AD'∥BC'，因为 BC'⊂平面BCC'B'，AD'⊄平面BCC'B'，所以，AD'∥平面BCC'B'．
因为 C'∈D'H，所以，平面AD'HF∩平面BCC'B'=C'F．
因为 AD'⊂平面AD'HF，所以 AD'∥C'F．
所以，C'F∥BC'，而C'F与BC'相交，矛盾．
所以，点A，D'，H，F不共面．

（2012•海淀区二模）在正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AB，BB'，B'C'，C'D'的中点分别是E，F，G，正方体ABCD-A'B'C'D'中,E、F、G分别是A'B'、B'C'、BB'的中点. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是棱CC',BB'及DD'的中点,试证明∠BGC=∠FD'E 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F分别是BC,C'D'的中点,连接EF.求证：EF平行于平面BB'D'D. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是CC'的中点,F是BB'的中点,求证EF⊥面AB'D' 在正方体ABCD-A'B'C'D'中E、F、G分别是AB、BC、AA'的中点.求证：B'D垂直于平面EFG. 在正方体ABCD-A`B`C`D`中,E、F、G分别是AB、BC、AA`的中点,求证：B`D⊥平面EFG 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,PQ分别为A'B',BB'的中点. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E、F分别是AB和AA'的中点 1 在正方体ABCD-A,B,C,D,中,E F G H分别是AA,A,D,A,B,BB,的中点,则异面直线EF与GH所在棱长为a的正方体ABCD—A'B'C'D'中,E和F分别为DD’和BB'的中点. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E.F.G分别是AB.BC.AA'的中点.求证：BD'垂直于平面EFG