函数f(x)在x取正整数时为实数,且满足对于任意正整数n,f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2恒成立,是否存在这样

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 12:41:21

函数f(x)在x取正整数时为实数,且满足对于任意正整数n,f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2恒成立,是否存在这样的函数

代入n = 1得f(3) = f(1)²+2,代入n = 3得f(1) = f(3)²+2.
相减得f(1)-f(3) = f(3)²-f(1)² = (f(3)-f(1))(f(3)+f(1)).
即(f(3)-f(1))(f(3)+f(1)+1) = 0.
有f(1) = f(3)或f(1)+f(3)+1 = 0.
若f(1) = f(3),代回得f(1) = f(1)²+2,即f(1)为x²-x+2 = 0的根.
但x²-x+2 = 0无实根,与f(1)为实数矛盾.
故f(1)+f(3)+1 = 0,即f(3) = -1-f(1).
代回得-1-f(1) = f(1)²+2,即f(1)为x²+x+3 = 0的根.
但x²+x+3 = 0无实根,与f(1)为实数矛盾.
综上,不存在满足条件的函数.
再问：那你是如何想到要将n=1和n=3代入的？并且题目未规定函数类型，万一原函数中出现无限大的话，那结论不就必然能成立了吗？
再答：因为题目的条件集中在f(x)在正整数处的取值. 所以想到取正整数n让-n²+3n+1取值为正整数. 这样的选择很少, 只有n = 1, 2, 3. 代入能得到f(3) = f(1)²+2, f(1) = f(3)²+2算是巧合. 不过应该是出题人故意为之. 我不太清楚你说的出现无穷大是什么意思, 是指∞ = ∞²+2? 无穷大(通常)并不是一个数, 不能满足取值为实数的要求.

函数f(x)在x取正整数时为实数,且满足对于任意正整数n,f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2恒成立,是否存在这样函数f(x)对于任意实数x,y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=1/3,求f(n)（n为正整数）关于n的设函数f(x)满足f(n+1)=(2f(n)+n)/2 (n为正整数),且f(1)=2,则f(20)=_______ 设函数f(x)满足f(n+1)={2f(n)+n}/2,(n∈正整数）,且f(1)=2,那么f(20)=? 已知函数f（x）的定义域为R，满足f（12）=2，且对于任意实数m，n有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，当x＞-1 设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2-x）+f（x）=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组f(m2− 定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1 定义在正整数集上的函数f（x）对任意m,n∈N+,f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2,且f（1）=1 定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2,且f（1）=1. 已知函数f（x）满足f（1）=1，且对任意正整数n都有f（1）+f（2）+…+f（n）=n2f（n），则2015•f（2 定义在正整数集上的函数f(x)满足 f(1)=2011且f(1)+f(2)+……+f(n)=n平方f(n)（n大于等于1 设函数f(x)满足f（n+1）＝（2f（n）+n）/2 n为正整数,则f（20）为?